10. Blatt Ana

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Beitragvon moggi » 15.01.2009 19:47

Hi, hier mal meine vorläufigen Lösungen:

Aufgabe 1:
a) noch kein Idee
b) (i) konvergiert punktweise, (bei gleichmäßiger konvergenz bin ich mir noch nicht sicher)
(ii)Konvergiert punktweise
(iii)konvergiert gleichmäßig

Aufgabe 2:
(i) Konvergenzradius e
(ii) Konvergenzradius: 1/3
(iii)Konvergenzradius: \sqrt[3]{7}
(iv)Konvergenzradius: 1
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon squirrl13 » 15.01.2009 20:21

Die Aufgabe eins hab ich genauso. bin bei der (i) dass sie nicht gleichmäßig konvergiert.

Wie kommst du bei der 2) (i) auf den konvergenzradius e ?
Ich hab im Internet gefunden das
\lim_{x\rightarrow \inf} \sqrt[n]{n!}\frac{1}{n} = \frac{1}{e}
ist. Aber wie zeig ich das, oder dürfen wir das so verwenden?
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon ***** » 15.01.2009 21:33

hey, also ich hätte mal eine Frage zur 2d) es gilt ja: die formel, die auf dem blatt steht ist < / = der Summe über n² x^n
Dann habe ich das Quotientenkriterium angewandt und bekomme auch r= 1 heraus.
Konvergiert also für |x|<1....da n² x^n eine Majorante ist, gilt dies auch für die Ausgangsreihe.
Aber wie macht ihr es mit der Divergenz??? Also n² x^n divergiert ja für |x|>1 ...aber das kann man ja nicht für die Ausgangsreihe einfach annehmen.
Wie argumentiert ihr da?

Die 2a) und c) kann ich schon mal bestätigen.
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon Rsph » 15.01.2009 21:48

ich wollte mit der grenze x=1 und x = -1 argumentieren, das gleich mit der richtigen folge, für x=1 habe ich dass die folge divergiert, also kann der konvergenzradius nicht größer als 1 sein, muss also genau 1 sein.
Für x = -1 weiß ich es noch nicht.
auch bei der 2a) fehlt bei mir wie es mit den randwerten aussieht, wie kann man das da machen?

und bei der 2b habe ich konvergenzradius 3, bzw. für -2<x<4 absolut konvergent
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon ***** » 15.01.2009 22:05

zur 2a) also wenn man für x=e bzw x=-e untersucht, muss man zeigen, dass es keine Nullfolge ist, und somit divergiert es für |x|=e.
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon moggi » 15.01.2009 22:40

Hi,

bei der 2a) muss man das Quotientenkriterium wählen und nicht das Wurzelkriterium dann geht das ohne Probleme.

@rsph: Der Konvergenzradius gibt dir an in welchem Intervall deine Reihe absolut konvergiert, daher gilt im offenen Intervall konvergiert sie auf jeden Fall absolut. Ob sie im geschloßenem Intervall konvergiert untersuchst du mit den Randpunkten. Daher glaube ich, das dein Ergebnis für die 2b) falsch sein muss.
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon moggi » 15.01.2009 23:05

Bei der 2b) hab ich inzwischen 4/3 als Konvergenzradius

Rechnung dazu:
\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(x-1)^{3n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}
Sei b_k = \frac{1}{(4+(-1)^{\frac{k}{3}})^k} falls k=3n und sonst 0
=>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{3n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}=\sum_{k=1}^\infty b_k (x-1)^k
\limsup_{n->\infty}\sqrt[k]{b_k}=\limsup_{n->\infty}\sqrt[3n]{a_{3n}}=\limsup_{n->\infty}\sqrt[3n]{\frac{1}{(4+(-1)^n)^{3n}}}=\limsup_{n->\infty}\frac{1}{4+(-1)^n}=1/3
=>|x-1|<3<=>-2<x<4
Hoffe mir sind keine Fehler unterlaufen.

Edit:Mir ist doch ein Fehler unterlaufen
Zuletzt geändert von moggi am 15.01.2009 23:28, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon Rsph » 15.01.2009 23:21

ich habe bei der 2b noch x-1 durch y substituiert, wo dann konvergenzradius 3 bei mir rauskam, und für x dann eben -2<x<4

hat jemand ne idee für die 1a)?
und zur 2a, ich weiß nicht wie ich darauf komme, dass es keine nullfolge für die randpunkte ist
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon ***** » 15.01.2009 23:31

also x=e : dann hast ja (e^n * n! /n^n) als Folge.
Da setzt dann erstmal n=1 und bekommst e heraus , also > 0
Dann zeigst, dass die Folge monoton wachsend ist. Kann dann also keine NF sein.
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Re: 10. Blatt Ana

Beitragvon ***** » 15.01.2009 23:43

also ich bekomme bei der 2b) r=4 heraus.
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