Aufgabe 43 (Blatt 11)

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Re: Aufgabe 43 (Blatt 11)

Beitragvon reynhold » 13.01.2009 15:56

Kann ich ebenfalls bestätigen, im Endeffekt wird der gleiche Ansatz zum finden der speziellen Lösung angewandt wie immer, nur dass dieses Mal \dot{x},\ddot{x} nicht null sind...
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Re: Aufgabe 43 (Blatt 11)

Beitragvon tms » 13.01.2009 20:25

Hast recht, habe da ein 1/3 übersehen...
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Re: Aufgabe 43 (Blatt 11)

Beitragvon dk1 » 14.01.2009 10:53

mabl hat geschrieben:Zum Lösen des inhomogenen Teils nimmt man an, dass
x(t)&=&a_{1}t^{2}+a_{2}t+a_{3}\mathrm{e}^{t}+a_{4}


mabl, wie kommt ihr auf diesen Ansatz?
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Re: Aufgabe 43 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 12:17

dk1 hat geschrieben:
mabl hat geschrieben:Zum Lösen des inhomogenen Teils nimmt man an, dass
x(t)&=&a_{1}t^{2}+a_{2}t+a_{3}\mathrm{e}^{t}+a_{4}


mabl, wie kommt ihr auf diesen Ansatz?


Also es spielen zwei Überlegungen spielen hier eine Rolle. Wie wissen, dass wenn ich x in \ddot{x}+4\dot{x}+3x=t^{2}+3\mathrm{e}^{t} einsetze einmal t^2 plus 3\mathrm{e}^{t} rauskommen muss. Beide Probleme kann ich getrennt voneinander anschauen. Zuerst einmal zur e-Funktion, diese fällt durch die ableitungen nie weg, also MUSS a_3\mathrm{e}^{t} Teil von x sein - wir suchen nur noch wie oft.
Dann brauchen wir noch t^2 . Dies muss auf jeden Fall ein wie auch immer geartetes Polynom sein, damit, wenn man es in \ddot{x}+4\dot{x}+3x einsetzt t^{2}+3 rauskommt. Die Frage ist jetzt noch, welchen Grad dieses Polynom hat. Mit etwas nachdenken kommt man auf den Grad 2, denn unser gesuchtes Ergebnis hat als höchste Potenz 2. Unser Polynom wird in der DGL auch direkt in 3x eingestetz. Höhere Potenzen im Polynom machen also keinen Sinn. Das Polynom bei mir ist dann x(t)&=&a_{1}t^{2}+a_{2}t+a_{4}


Ich hoffe das macht die Idee dahinter etwas verständlicher :)
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Re: Aufgabe 43 (Blatt 11)

Beitragvon dk1 » 14.01.2009 14:56

okay, passt
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Re: Aufgabe 43 (Blatt 11)

Beitragvon PatrickM » 14.01.2009 19:54

Ich habe das ganze mit einem etwas anderen Verfahren gerechnet, das sozusagen den Standardweg für solche inhomogenen DGL darstellt. Man benutzt das Verfahren der "Variation der Konstanten". Wie das genau funktioniert, kann ich jetzt gerade nicht hier schreiben, aber wenn ihr mal im Repetitorium oder im Netz nach dem Verfahren sucht, müsstet ihr draufkommen.
Ich komme dabei auf jeden Fall auf genau die gleichen Ergebnisse wie Matthias sie gepostet hat. Allerdings beinhaltet mein Lösungsweg mehr etwas Aufwand und ist länger... Mist ;)
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