Aufgabe 41 (Blatt 11)

Untote Übungsblätter

Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 12.01.2009 18:48

Also ich bin mir immer noch nicht sicher, wie man diese Aufgabe löst. Ein Ansatz ist sicherlich 2. Ableitung der Ortsgleichung nullsetzen, und dann t in die erste Ableitung einsetzen. Alternativ spukt mir da noch etwas mit Energien im Hinterkopf rum... und zwar in Anlehnung an die heutige Vorlesung:

\ddot{x}+\omega^{2}x&=&-2\gamma\dot{x}\\\ddot{x}\dot{x}+\omega^{2}x\dot{x}&=&-2\gamma\dot{x}^{2}\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+\frac{\omega^{2}}{2}x^{2}\right)&=&-2\gamma\dot{x}^{2}\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}\right)&=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(T+V\right)\\&=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E\\&=&-\beta\dot{x}^{2}

Mit der letzten Umformung bin ich mir auch nicht so sicher... aber bringt uns das was? Irgendwie reizt mich die Idee durchaus ^^ - Auch wenn Christian mich beim Essen ausgelacht habe, als ich über Energien sprach :P
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 12.01.2009 19:43

Ich habe noch etwas in meiner E-Book Sammlung gestöbert, und dort in "Classical Mechanics" von J.B. Tatum folgenden Abschnitt gefunden. Siehe dort ab Formel 11.5.26.

Außerdem meint er
Those who enjoy differentiating can show that the maximum speed is reached in a time \frac{\ln\left(\lambda_{1}/\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} and the maximum speed is..


Freundlicher Mensch :D
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 12.01.2009 20:04

Und weils so viel Spaß macht noch eine Trippelpost mit einem Ausschnitt aus dem Greiner :twisted: den ich habe zu den Energien des gedämpften Oszillators. Fast das selbe was ich zu anfang gepostet habe ^^ Nur der Greiner hat es natürlich leicht anders.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon tms » 12.01.2009 21:51

Ich hab eher an den Ansatz von Montag vor Weihnachten gedacht, dort haben wir die Bewegungsgleichung aufgestellt, dann Ableiten dachte ich. beta war dort nämlich auch gegeben, aber keine Garantie, nur eine ungetestete Vermutung.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Atomwürmchen » 12.01.2009 23:40

Also nach gefühlten 20 Stunden rechnen und mehreren Fehlern komm ich nun auf das Ergebnis für die Zeit t, zu der die maximale Geschwindigkeit im gedämpften Fall erreicht ist:

t=\frac{\mathrm{arsinh}(\frac{\gamma}{\omega})}{\gamma}

Ich geh absolut nicht davon aus, dass das stimmt. Zumindest die Einheit stimmt aber ;) Fragt mich bitte nicht, wie ich da drauf gekommen bin.
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Kazaar » 13.01.2009 19:53

Wenn ich bei meiner (unserer) Rechnung noch halbwegs durchlbicke, haben wir Folgendes gemacht (gedämpfter Fall):
x(t) wie in der Vorlesung bzw. Nolting S. 161. Die darin enthaltenen a_{1} und a_{2} über x(0) und \dot{x}(0) , Ergebnis wie im Nolting. Die beiden in \dot{x}(t) einsetzen und \ddot{x}(t) = 0 setzen.
Jetzt sind wir bei Atomwürmchens
t=\frac{\mathrm{arsinh}(\frac{\gamma}{\omega})}{\gamma} .
Das ist die Zeit der maximalen Geschwindigkeit. (Man kann die Hyperbolicus-Funktionen auch als e-Funktionen stehen lassen, sieht aber m.E. nicht so schön aus. ;))
Den letzten Term kann man umformen zu
t = \frac{\ln{\sqrt{\frac{\beta+\gamma}{\beta-\gamma}}}}{\gamma} .
Diese Zeit in \dot{x}(t) einsetzen. Eine mögliche Darstellung der maximalen Geschwindigkeit ist:
-x_{0} (\gamma + \beta) \sqrt{\frac{\beta - \gamma}{\beta + \gamma}}^{\left(\frac{\beta}{\gamma} + 1}\right)

Ich habe dafür gut 3 1/2 Seiten gebraucht (ohne Rechnungen mit Fehler). Hoffe, das hat noch nicht jeder und ich hab nicht alles umsonst getippt. ;)

Fehlen noch die Verhältnisse.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Feanor » 13.01.2009 21:26

also ich kann zumindest das ergebniss von mabl bestätigen. habs mir gerade durchgerechnet.

das ist äquivalent zu den ergebissen von kazzaaaaaaa und atomwürmchen


ähm noch ne frage: bei der schwachen dämpfung, müsste da die lösung im prinzip die gleiche sein? nur dass dann eben gamma imaginär wird? dementsprechend müsste man nur die richtgen additionstheoreme und co haben
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 15:34

Feanor, wäre lieb von dir wenn du zeigen könntest wie du meinen Ansatz genutzt hast - ich bin jetzt mal auf den steinigen weg der Ableitungen eingeschwänkt. Viel Spaß macht es aber nicht. Ich stell mal soweit ich bin hier online.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 15:53

@mabl: kann deine schritte bis dahin nur bestätigen. eine Frage hätte ich: ich hab das v0 gleich null gesetzt. dann vereinfacht sich der ausdruck noch um einiges, denn der cosh kürzt sich dann weg.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 16:29

Hendrik hat geschrieben:@mabl: kann deine schritte bis dahin nur bestätigen. eine Frage hätte ich: ich hab das v0 gleich null gesetzt. dann vereinfacht sich der ausdruck noch um einiges, denn der cosh kürzt sich dann weg.


Wie meinst du, dass sich was kürzt? Ich habe nur ein v_0 und wenn ich das 0 setze passiert so wie ich das sehe garnichts... Anonsten - gut dass wir bis dahin das selbe haben :D
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