Aufgabe 41 (Blatt 11)

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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon reynhold » 14.01.2009 16:32

Hendrik hat geschrieben:@mabl: kann deine schritte bis dahin nur bestätigen. eine Frage hätte ich: ich hab das v0 gleich null gesetzt. dann vereinfacht sich der ausdruck noch um einiges, denn der cosh kürzt sich dann weg.


Habe ich ebenfalls so gemacht. Ich kann auch Kazaars Ergebnisse bestätigen, allerdings ist mein momentanes Problem dass ich statt t=\frac{\ln{\sqrt{\frac{\beta+\gamma}{\beta-\gamma}}}}{\gamma} , t=\frac{\ln{\sqrt{\frac{\beta+\gamma}{\gamma-\beta}}}}{\gamma} habe, was ja unmöglich stimmen kann da \gamma kleiner als \beta ist...
Und irgendwie finde ich meinen Fehler nirgends.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 16:38

betrachte die 1. ableitung und setze dort v0=0. wenn du dann die ausdrücke vor den cosh betrachtest, stellst du fest, dass du diese nun zu 0 zusammenfassen kannst. wenn du dann noch die sinh zusammenfasst, hat man einen an sich recht einfachen ausdruck da, nämlich nur noch mit sinh.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 16:41

ich bekomm dann übrigens als t etwas anderes raus, als das was hier bereits gepostet wurde. ich hab dann nämlich keine arsinh-funktion, sondern eine artanh-funktion und anstelle des omega im argument steht bei mir ein beta. und ich find bei mir ebenfalls keinen fehler...
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 16:54

Hendrik hat geschrieben:betrachte die 1. ableitung und setze dort v0=0. wenn du dann die ausdrücke vor den cosh betrachtest, stellst du fest, dass du diese nun zu 0 zusammenfassen kannst. wenn du dann noch die sinh zusammenfasst, hat man einen an sich recht einfachen ausdruck da, nämlich nur noch mit sinh.

Ich blindes Huhn... danke dir!

\dot{x}(t)&=&x_{0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathrm{e}^{-\beta t}\cosh\left(\gamma t\right)\right)+\frac{\beta x_{0}}{\gamma}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathrm{e}^{-\beta t}\sinh\left(\gamma t\right)\right)\\&=&x_{0}\left(-\beta\mathrm{e}^{-\beta t}\cosh\left(\gamma t\right)+\gamma\mathrm{e}^{-\beta t}\sinh\left(\gamma t\right)\right)+\frac{\beta x_{0}}{\gamma}\cdot\left(-\beta\mathrm{e}^{-\beta t}\sinh\left(\gamma t\right)+\gamma\mathrm{e}^{-\beta t}\cosh\left(\gamma t\right)\right)\\&=&-\beta x_{0}\mathrm{e}^{-\beta t}\cosh\left(\gamma t\right)+\gamma x_{0}\mathrm{e}^{-\beta t}\sinh\left(\gamma t\right)-\frac{\beta^{2}x_{0}}{\gamma}\mathrm{e}^{-\beta t}\sinh\left(\gamma t\right)+\beta x_{0}\mathrm{e}^{-\beta t}\cosh\left(\gamma t\right)\\&=&\mathrm{e}^{-\beta t}\sinh\left(\gamma t\right)\cdot\left(\gamma x_{0}-\frac{\beta^{2}x_{0}}{\gamma}\right)
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Cashdogg » 14.01.2009 17:35

Tach,

ich bin geraden dabei die Formel zum gedämpften Fall herzuleiten und hab mal eine Frage zu den Anfangsbedingungen. Warum setzten wir v(0)=v0. Müsste v(0) nicht gleich 0 sein? Hoffe ihr könnt mir das beantworten.

Danke und tschöö!!!
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 17:56

v0 ist definiert als v(0) und das ist in unserem fall 0 (s. Nolting S.158 unten).
Ich hab im Anhang jetzt mal meinen Vorschlag für eine Lösung hochgeladen. Viele der Umformungen der Hyperbel- und Areafunktionen, die ich verwendet habe, finden sich im Bronstein. Ich hoffe, es ist lesbar und verständlich!
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41_1.pdf
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41_2.pdf
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41_3.pdf
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 18:13

habe bisher bis t_max gerechnet, und kann die Ergebnisse von Hendrik unabhängig bestätigen. Im Anhang soweit meine Rechnung
Dateianhänge
theo11test.pdf
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 18:24

das hört sich gut an! Ich hab nur eine kleine Anmerkung: du hast bei der letzten Umwandlung von tmax in den ln den Faktor 1/2 vor dem ln vergessen...
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Feanor » 14.01.2009 19:05

für alle die das ganze noch nicht gerechnet haben.

ich epfehle wärmnstens erstmal zum ableiten das ganze in exponentialform darzustellen und für lamda 1 und 2 noch nix einzusetzen, das vereinfacht das ableiten imens und führt auch zum richtigen ergebnis.

ir bekommt dann irgendwas mitdem ln raus.

je nachdem wie beta gewählt ist wird lamda dann komplex und der ln komplex und somit ein arctan.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 19:30

Hendrik hat geschrieben:das hört sich gut an! Ich hab nur eine kleine Anmerkung: du hast bei der letzten Umwandlung von tmax in den ln den Faktor 1/2 vor dem ln vergessen...


Verbessert.

Allerdings hänge ich an deiner Umformung von sinh(artanh(x)) schon beim ersten schritt du ersetzt ja sinh durch tanh/cosh aber dann stimmt doch nich?! tanh = sinh/cosh -> daher ist sinh = tanh*cosh ?
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