Aufgabe 41 (Blatt 11)

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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Atomwürmchen » 14.01.2009 19:32

Sehr mächtig, ich kann auch die Ergebnisse von Hendrik unabhängig und mit leicht anderem Rechenweg bestätigen. Da kommt doch mal Freude auf.
Also insofern hau ich hier mal noch meine Ergebnisse rein, die sich zu deinen umformen lassen, damit niemand verunsichert wird. Damit gehts auch ;)

t_{max}=\ln(\frac{\gamma}{\omega}+\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{\omega^{2}}+1})=\frac{\mathrm{arsinh}\frac{\gamma}{\omega}}{\gamma}

und

v_{max}=-\omega x_{0}\left(\frac{\gamma+\beta}{\omega}\right)^{-\frac{\beta}{\gamma}}

Wobei hier die Umformung von Hendrik deutlich schöner ist, da sich für beta gegen 0 bei ihm das Gamma kürzt. Sonst geile Sache ...
Grüße,
Christian
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Feanor » 14.01.2009 19:51

so ich hab mich nomma mit der schwachen dämpfung beschaftigt:

das R gilt ja allgemein nur dass jetzt dass gamma imaginär wird.

dann definiert man omega als w=i*gamma und rechnet in der klammer den bruch der komplexen zahlen aus.
wunder was es kommt 1 raus im bruch.
nun stehtgamma noch im exponenenten mit R=exp(ln1*beta*i/(2*w)) erhältman R= cos(ln1*beta/2w)+i*sin(ln1*beta/2w) ==>R=1

hendrik hat sogar recht gehabt

wer die e funktionen stehen lässt und im komplexen rechnet hats eben leichter
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 21:06

mabl hat geschrieben:Allerdings hänge ich an deiner Umformung von sinh(artanh(x)) schon beim ersten schritt du ersetzt ja sinh durch tanh/cosh aber dann stimmt doch nich?! tanh = sinh/cosh -> daher ist sinh = tanh*cosh ?

also, wenn ich den cosh ersetzen möchte, dann gibt es dafür die formel 1/sqrt(1-tanh^2). wenn ich nun den sinh ersetzen möchte, dann rechne ich da aber tanh*cosh und ersetze cosh durch die genannte formel. dann erhalte ich den bruch mit tanh im zähler und der wurzel im nenner. aber den erhalte ich durch eine multiplikation und nicht durch eine division (ich hab mich da gerade erst auch von verwirren lassen, als ich mir das nochmal angesehen hab). Wir können also ruhig schlafen, der Bronstein hat alles richtig gemacht... ;)
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Rene » 14.01.2009 21:12

Jetzt bin ich mla ganz gemein, und sage, dass das R nicht allgemein gelten dürfte (meine ich). Grund: Den Zusammenhang für R haben wir hergeleitet unter der annahme starker Dämpfung, und auch mit den dazugehörigen gleichungen. Schaut man sich den Fall schwacher Dämpfung an, so stellt man fest, dass es dort andere gelcihungen gibt (wer im Noltin geschaut hat, eine Seite vor der Starken Dämpfung) diese leifern logischerweise auch andere Ableitungen, und damit ein anderen Zeitpunkt sowei eine andere Geschwindikiet, und anderes v ( kann ja auch schlecht sein, dass wir eine komplexe Lösung für ein Verhältnis physikalischer Größen erhalten, die nuneinmal reell sind.

Gruß und nicht verzweifeln.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 21:28

Hendrik hat geschrieben:
mabl hat geschrieben:Allerdings hänge ich an deiner Umformung von sinh(artanh(x)) schon beim ersten schritt du ersetzt ja sinh durch tanh/cosh aber dann stimmt doch nich?! tanh = sinh/cosh -> daher ist sinh = tanh*cosh ?

also, wenn ich den cosh ersetzen möchte, dann gibt es dafür die formel 1/sqrt(1-tanh^2). wenn ich nun den sinh ersetzen möchte, dann rechne ich da aber tanh*cosh und ersetze cosh durch die genannte formel. dann erhalte ich den bruch mit tanh im zähler und der wurzel im nenner. aber den erhalte ich durch eine multiplikation und nicht durch eine division (ich hab mich da gerade erst auch von verwirren lassen, als ich mir das nochmal angesehen hab). Wir können also ruhig schlafen, der Bronstein hat alles richtig gemacht... ;)


stimmt - kann man sich auch einfach selber herleiten:
\cosh^{2}x-\sinh^{2}x&=&1\\\tanh x&=&\frac{\sinh x}{\cosh x}\\\tanh x\cosh x&=&\sinh x\\&&\\\cosh^{2}x-\tanh^{2}x\cosh^{2}x&=&1\\\cosh^{2}x\cdot\left(1-\tanh^{2}x\right)&=&1\\\cosh x&=&\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^{2}x}}
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Hendrik » 14.01.2009 21:34

Rene hat geschrieben:Jetzt bin ich mla ganz gemein, und sage, dass das R nicht allgemein gelten dürfte (meine ich). Grund: Den Zusammenhang für R haben wir hergeleitet unter der annahme starker Dämpfung, und auch mit den dazugehörigen gleichungen. Schaut man sich den Fall schwacher Dämpfung an, so stellt man fest, dass es dort andere gelcihungen gibt (wer im Noltin geschaut hat, eine Seite vor der Starken Dämpfung) diese leifern logischerweise auch andere Ableitungen, und damit ein anderen Zeitpunkt sowei eine andere Geschwindikiet, und anderes v ( kann ja auch schlecht sein, dass wir eine komplexe Lösung für ein Verhältnis physikalischer Größen erhalten, die nuneinmal reell sind.

Gruß und nicht verzweifeln.

Ich gebe dir recht, dass man für Beta kleiner Omega andere Formeln hat, aber das Verhältnis für kleine Beta kann man sich auch so überlegen: Wenn die Reibung sehr gering ist, dann muss der Unterschied zwischen beiden Geschwindigkeiten auch sehr gering sein, also ist das Verhältnis nahezu 1. Ich rechne das ganze jedenfalls nicht nochmal aus... ;)
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 14.01.2009 22:20

Sooo jetzt hier noch meine Lösung - der Schluss ist aber mehr oder weniger Hendriks Idee - und ihr wisst ja - einmal gesehen - einmal gedacht - nie mehr vergessen. :D Vllt kanns ja trotzdem jemand brauchen, ist stellenweise etwas ausführlicher.
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon misterx » 15.01.2009 16:19

@mable
meines erachtens ist es deutlich einfacher(man braucht weniger papier), wenn man sich den ganzen sinush/cosh quatsch spart
und einfach mit der löusng X(T) =e^-bt(Aexp(gt)+Bexp(-gt) rechnet
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon mabl » 15.01.2009 16:26

misterx hat geschrieben:@mable
meines erachtens ist es deutlich einfacher(man braucht weniger papier), wenn man sich den ganzen sinush/cosh quatsch spart
und einfach mit der löusng X(T) =e^-bt(Aexp(gt)+Bexp(-gt) rechnet


Das kann durchaus sein, aber ich hatte das so mit Hyperbolikusfunktionen angefangen, und dann habe ich es auch zu ende gerechnet. Sooo schwierig ist das mit sinh und cosh garnicht ^^
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Re: Aufgabe 41 (Blatt 11)

Beitragvon Feanor » 15.01.2009 17:38

so als erstes muss ich meine lösung von R für beta kleiner als omega0 rewidieren.

die richtige lösung fürdiesen fall lautet. R=exp(-arctan(omega(neu/beta)*beta/omega(neu)

ihr kommt da drauf in dem ihr R nehmt und mithilfen von a+i*b=(a^2+b^2)*exp(i*arctan(b/a) dann nich gamma=i*omega(neu) und omeganeu=sqrt(omega0^2-beta^2)

für kleine beta geht arctan gegen pi wären beta/omega gegen 0 geht --> R geht gegen 1
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