Aufgabe 45 - Blatt 12

Untote Übungsblätter

Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon mfs » 19.01.2009 16:59

Hallo,

hier sind mal unsere Ergebnisse zur Aufgabe 45:

t-t_0=\int_{x_0}^{x(t)}\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{1}{2}kx^2)}}dx\\\Rightarrow t-t_0=\sqrt{\frac{m}{k}}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{dx}{\sqrt{(\frac{2E}{k}-x^2)}}\\\\\text{mit  }\int \frac{dx}{\sqrt{a-x^2}}=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{a}\right)}\\\Rightarrow t-t_0=\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x(t)\right)-\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x_0\right)\right)\\\Rightarrow x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(t-t_0)+\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x_0\right)\right)

Für den Maximalausschlag hat man damit die Zahl vorm Sinus:

x_{max}=\sqrt{\frac{2E}{k}}


MfG,
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon Etz » 19.01.2009 20:36

genial.....
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon eaglechen » 19.01.2009 20:58

Müsste es nicht 1/sqrt(1-x²) heißen, damit ich, wenn ich das integriere, den arcsin rausbekomme?
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon mfs » 19.01.2009 21:09

eaglechen hat geschrieben:Müsste es nicht 1/sqrt(1-x²) heißen, damit ich, wenn ich das integriere, den arcsin rausbekomme?


Das ist ja nichts weiter als der Spezialfall a=1 . Dann erhälst du als Stammfunktion \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1}}\right)=\arcsin(x) . Die Form mit dem Parameter a findet man z.B. im Bronstejn.

MfG,
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon neutron » 20.01.2009 10:42

Also ich hab das Integral zwar leicht anders gelöst, komme aber auf das gleiche Endergebnis.

ABER: Ich bin im 3. Semester und wir haben die Aufgabe (nur leicht anders und schwerer) damals auch gemacht.
Dort haben wir noch:

E=\frac{1}{2} k x_0 gesetzt und aus "Kosmetik" t_o=0 frei gewählt. Wir dürfen uns den Anfangszeitpunkt ja legen wie wir wollen, wenn nix vorgegeben ist.

Dann vereinfacht sich das Ganze zu:
x(t)=x_0 \cdot sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon reynhold » 20.01.2009 16:26

Hab zwar recht lange gebraucht um das mit dem Spezialfall a=1 ohne Bronstein herauszufinden, kann aber alles bestätigen.
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon Atomwürmchen » 20.01.2009 21:01

@Reynhold: Heißt das, du hast rausgefunden, wie man das integrieren mit unseren "normalen" Integrationsregeln? Wenn ja, könntest du dann mal deinen Ansatz posten, weil ich mich da gestern verrücktsubstituiert hab ;)
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon Rene » 20.01.2009 21:24

Ist ziemlich einfach atomwürmchen: zunächst kalmmerst du aus:
\int{\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\cdot(E-0,5kx^2)}}} & = & \sqrt{\frac{m}{2E}}\cdot\int{\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{0,5kx^2}{E}}}}

dann substituerst du \frac{kx^2}{2E} = u^2 \qquad bzw \qquad u = \sqrt{\frac{k}{2E}}\cdot x , und dann hast de da des Integral stehen:
\sqrt{\frac{m}{2E}}\cdot\sqrt{\frac{2E}{k}}\cdot\int{\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}} & = & \sqrt{\frac{m}{k}}\cdot\int{\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}} das ergibt nen arcussinus (entweder Form kennen, oder kurz herleiten, mit Satz über Umkehrfunktionen ist es echt einfach). dann noch zurücksubstitueren, und gut ist.
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon Cashdogg » 21.01.2009 15:20

Also ich hab jetzt auch mal die 45 probiert, bin aber auf eine etwas andere Lösung gekommen. Schaut's euch mal an.

ACHTUNG: Die beiden letzten Zeilen sind falsch umgeformt, sonst müsste aber alles stimmen!!!
Dateianhänge
Aufgabe 45.pdf
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Zuletzt geändert von Cashdogg am 21.01.2009 20:41, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Aufgabe 45 - Blatt 12

Beitragvon Hendrik » 21.01.2009 15:38

@cashdogg: du hast einen fehler bei der umformung gemacht: wenn du den sinus von einer summe bzw. differenz nimmst, dann musst du die additionstheoreme beachten und kannst nicht den sinus vom ersten und den sinus vom zweiten summanden nehmen. aus diesem grund ist es nicht möglich, beide arcsin-funktionen umzukehren, sondern nur eine!
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