Aufgabe 48 aka 47 (Arbeit) - Blatt 12

Untote Übungsblätter

Re: Aufgabe 48 aka 47 (Arbeit) - Blatt 12

Beitragvon Hendrik » 21.01.2009 18:00

mfs hat geschrieben: Nennt man den Parameter \xi\in[0,1] , erhält man für den entsprechenden Weg (aus den Voraussetzungen \vec{s_\alpha}(0)=(\alpha,0,0); \vec{s_\alpha}(1)=(1,1,0); \text{dazwischen linear} ):

\vec{s_\alpha}(\xi)=(\xi-(\alpha(\xi-1)),\xi,0)


@mfs: ich glaube, dass da noch ein fehler drin ist (vielleicht sogar zwei). Auch wenn der Weg entlang der x-Achse nichts zur Arbeit beiträgt, muss er parametrisiert werden. Dieser Weg erhält dann nämlich die Integrationsgrenzen 0 und 1, während der Weg von alpha bis (1,1,0) die integrationsgrenzen 1 und 2 erhält. betrachte dazu den Weg s2 und dessen Parametrisierung. desweiteren verstehe ich deine parametrisierung der x-koordinate nicht. der Vektor von alpha nach (1,1,0) ist doch (1-alpha,1,0), oder nicht? zum parametrisieren muss dieser einfach nur mit xi multipliziert werden, aber deine x-koordinate sieht mir da ein bisschen anders aus. Kannst du da bitte nochmal etwas näher erläutern, wie du darauf kommst?
Hendrik
 
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Re: Aufgabe 48 aka 47 (Arbeit) - Blatt 12

Beitragvon mfs » 21.01.2009 18:14

Hi Hendrik,

zunächst haben wir halt nur den zweiten Wegabschnitt, nicht entlang der x-Achse angeschaut und dabei den Parameter xi benutzt. Das xi muss man ganz am Ende natürlich noch umbenennen und verschieben, damit man mit einem anderen Parameter von 0 bis 5 z.B. laufen kann. Auf die parametrisierte Darstellung des zweiten Wegabschnitts kommen wir so: Wir müssen ja vom Punkt A(alpha,0,0) zum Punkt P(1,1,0). Der Weg lässt sich also darstellen als Geradengleichung mit Aufpunkt A:

\vec{s_\alpha}(\xi)=(\alpha,0,0)+\xi(1-\alpha,1,0)

Dieser Parameter xi läuft nun im Wegintegral von 0 bis 1. Um den Weg endgültig zu beschreiben (mit einem einzigen Parameter t, der von 0 bis 5 durchläuft), ersetze ich im zweiten Wegabschnitt \xi=t-4 und erhalte mit \alpha=-4

\vec{s}=(-t,0,0)\text{   fuer }0<t<4\\\vec{s}=(-4+(t-4)-(-4)(t-4),t-4,0)=(-4+5(t-4),t-4,0)\text{   fuer }4<t<5

MfG,
mfs.
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Re: Aufgabe 48 aka 47 (Arbeit) - Blatt 12

Beitragvon Hendrik » 21.01.2009 18:19

danke für die erläuterungen, ich hab meinen fehler gefunden. ich hab die verbindung von alpha zu (1,1,0) nicht als gerade geschrieben, sondern nur als vektor, hab also den stützvektor unterschlagen. dann müsste ich auch auf dein ergebnis kommen. Danke!
Hendrik
 
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Re: Aufgabe 48 aka 47 (Arbeit) - Blatt 12

Beitragvon PatrickM » 21.01.2009 18:20

@Hendrik

1.
Auch wenn der Weg entlang der x-Achse nichts zur Arbeit beiträgt, muss er parametrisiert werden. Dieser Weg erhält dann nämlich die Integrationsgrenzen 0 und 1, während der Weg von alpha bis (1,1,0) die integrationsgrenzen 1 und 2 erhält.


Also der Weg entlang der x-Achse kann hier ja sehr wohl parametrisiert werden, wer sagt denn, dass der Bereich für \xi bei 0 beginnen muss. Aber die Mühe haben wir uns gar nicht gemacht sondern direkt nur den Weg ab dem Punkt Alpha in Betracht bezogen. Falls man die Grenzen in 1 und 2 ändert, so wie du vorschlägst, dann muss man natürlich auch den Vektor, der den Weg angibt entsprechend ändern, sonst kommt man ja nicht mehr im Zielpunkt raus.

2.
Kannst du da bitte nochmal etwas näher erläutern, wie du darauf kommst?


Durch raten, so blöd es klingt, bzw. durch konstruieren. Ich habe festgelegt, dass mein Parameter \xi von 0 bis 1 läuft und dann der Zielpunkt erreicht ist. Ich muss also von ( \alpha , 0, 0) auf (1, 1, 0) kommen.
Die y-Koordinate ist einfach \xi . Für die x-Koordinate brauche ich irgendwie einen Term, der für \xi = 0 den Wert \alpha liefert und für \xi = 1 auf 0 kommt.
Da kommt man recht leicht auf -\alpha \cdot (\xi-1) . Da ich für \xi = 1 aber noch den Gesamtwert 1 brauche, addiere ich einfach noch \xi , sodass ich insgesamt auf \vec{s_\alpha}(\xi)=(\xi-(\alpha(\xi-1)),\xi,0) komme.
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Re: Aufgabe 48 aka 47 (Arbeit) - Blatt 12

Beitragvon Rene » 21.01.2009 19:21

Also ich habs jetzt nochmal gerechnet und kann die -4 bestätigen.

Und an alle, die unbedingt noch die Paramtrisierung inklusive erstem Weg wollen:
S_1=(a\cdot t|0|0)\qquad t\in [0,1] \\ S_2=(a+(1-a)\cdot(t-1)|t-1|0)\qquad t\in [1,2]
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