Aufgabe 49 (Blatt 13)

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Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Atomwürmchen » 26.01.2009 14:56

Hier die Lösung für die A49 a)Der Ansatz ist folgender: Wir nehmen uns einen beliebigen Punkt auf der Ellipse und verbinden ihn mit den beiden Brennpunkten. Die beiden Verbindungen zusammen sind dann also 2a lang. Wenn wir von diesem Punkt aus senkrecht auf die x-Achse runterprojezieren, dann erhalten wir 2 rechtwinklige Dreiecke. Wir können also folgende Gleichung aufstellen.

2a=\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(e-x)^{2}+y^{2}}

Also, was ich hier gemacht hab, ist den Pythagoras auszunutzen und einfach die beiden Hypothenusen der rechtwinkligen Dreiecke zusammenaddiert zu 2a. Ich hoffe, das war verständlich. Was jetzt folgt ist eine elendige Rechnerei. Wir müssen die Wurzeln loswerden, d.h. wir quadrieren, wobei man darauf achten muss auf der rechten Seite die binomische Formel zu beachten. Alles, was dann nicht mehr unter der Wurzel steht schreibt man auf die andere Seite und quadriert nocheinmal um die Wurzel des doppelten Produktes loszuwerden. Das ergibt ziemlich hässliche Terme, die ich hier jetzt echt net poste. Da soll jemand mal ein Foto von machen. ;)Wenn man jetzt ganz viel umformt und am Ende für e^{2}=a^{2}-b^{2} setzt, dann kommt man genau auf y=\sqrt{(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})b^{2}} was zu zeigen war.
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Rene » 26.01.2009 18:16

Es geht etwas schöner, wenn man die Wurzeln nicht auf einer Seite lässt.
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Paul » 27.01.2009 15:04

Hier ein paar mehr oder mehr nützliche Gedanken zur 49 (2)

http://www.mathepedia.de/Gleichung_in_P ... naten.aspx
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon M.A. » 27.01.2009 18:42

zur (b):
Ich häng grad...
Mein Rechenweg bisher:
Ich ersetze in der Formel mit
\\x=r\cos\phi \\y=r\sin\phi und r=\sqrt{x^2+y^2} den Kosinus und das r und komme auf:
\sqrt{x^2+y^2} + r\epsilon\cdot\frac{x}{r}=k
\sqrt{x^2+y^2} = k-\epsilon x
x^2+y^2=k^2-2\epsilon kx + \epsilon^2x^2
Und da scheitere ich daran, das auf Etwas der Mittelpunktsgleichung ähnliches zu bringen, vor allem wegen diesem -2\epsilon kx ...
Bin ich auf dem Holzweg oder hab ich was übersehen?
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Cashdogg » 27.01.2009 19:15

Hätte jetzt mal einen Ansatz zur (b). Wieder relativ geometrisch wie bei der (a). Bin mir aber nicht sicher ob ich die Beziehungen bzgl. epsilon und k einfach übernehmen und einsetzen darf.
Die Umformung hab ich noch nicht gemacht weil ich denke dass das wieder sehr aufendig ist. Geht also erst einmal nur um die Idee.

Also schaut's euch mal an und verbessert fleißig!!!


Ansatz war falsch. Sorry!!!
Zuletzt geändert von Cashdogg am 28.01.2009 17:08, insgesamt 3-mal geändert.
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon earl » 27.01.2009 20:37

wenn man sich das ganze aufzeichnet erkennt man dass r(pi)=a+e und r(0)=a-e sein muss. daraus bekommt man 2 gl mit 2
unbekannten k und epsilon nach denen man einfach auflöst. dann bekommt man die schon bekannten zusammenhänge k=b^2/a
und epsilon=e/a . nun setzt man k und epsilon in r ein und berücksichtigt dass r*cos(phi) die x koordinate des jeweiligen
punktes auf der ellipse ist, aber eben vom rechten brennpunkt aus gesehen ( der ja für das r(phi) den koordinatenursprung
darstellt ). so kommt man dann auf r=k-epsilon*X . diese gleichung quadriert man und ersetzt r^2 durch X^2+Y^2 . nun setzt
man noch wie schon gesagt k und epsilon ein und löst auf. man kommt auf (X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=irgendwas aber eben nicht =1
wie gewollt. berücksichtig man aber dann noch, dass in der mittelpunnktsgl der ursprung gegenüber der polargl um e
verschoben ist und ersetzt X durch x-e und löst erneut auf erhält man die gewünschte mittelpunktsgl.
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Paul » 28.01.2009 15:33

"nun setzt
man noch wie schon gesagt k und epsilon ein und löst auf" diesen schritt bekomm ich irgendwie einfach nich hin :-{
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon earl » 28.01.2009 20:13

Paul hat geschrieben:"nun setzt
man noch wie schon gesagt k und epsilon ein und löst auf" diesen schritt bekomm ich irgendwie einfach nich hin :-{


genau und ersetzt dabei noch r*cos(phi)=X oder eben x1 da dies die kartesische x koordinate des allgemeinen punktes auf der ellipse darstellt ( aber man beachte das die polarkoordinatengl von nem brennpunkt als ursprung ausgeht und deshalb nennt man die koordinate auch einfach x1 oder so da diese gegenüber der kartesischen x koordinate vom achsenschnittpunkt als ursprung genau um e verschoben ist ). nun muss man nur noch beachten dass r^2=x1^2+y^2 (die y koordinaten stimmen in beiden koordinatensystemen überein) und dass e^2=a^2-b^2 und löst auf...
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Cashdogg » 28.01.2009 20:34

tach earl,

hab mich jetzt auch seit ca. 4 stunden an deinem ansatz veruscht, aber wie paul häng ich auch am auflösen der gleichung fest, weil das bei mir irgendwie einen sch***langen term gibt. könntest du vielleicht deine lösung mal abfotografieren und hier reinstellen, würde viel helfen?
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Re: Aufgabe 49 (Blatt 13)

Beitragvon Baune » 28.01.2009 20:54

Ich bin in etwa dem Ansatz von earl nachgegangen, hier ist meine Rechnung dazu.
\scriptstyle{a = b \; \xrightarrow{\cdot a} \; a^2 = ab \; \xrightarrow{ -2a^2} \; -a^2  = ab-2a^2 \; \xrightarrow{+ab} \; -a^2 + ab = -2a^2 + 2ab = 2(-a^2+ab) \; \xrightarrow{: (-a^2+ab)} \; \bf{1=2} \quad \text{q.e.d.}}
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