Aufgabe 50 (Blatt 13)

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Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon mabl » 26.01.2009 18:09

Man betrachtet die Differentialgleichung m\ddot{\vec{r}}=-k\vec{r} . Dieses kann komponentenweise als harmonischer Oszillator interpretiert werden, mit \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} . Für die x-Achse gilt dass die maximale Auslenkung a ist, da dort die kinetische Energie null ist. Es gilt also x(t)&=&a\cos\left(\omega t\right)

Für die y-Achse gilt, dass der Oszillator im Nulldurchgang die Geschwindigkeit v_0 hat. Also
v_{0}&=&v_{harm,max}=x_{0}\omega\\\Leftrightarrow x_{0}&=&\frac{v_{0}}{\omega}\\&&\\y(t)&=&\frac{v_{0}}{\omega}\sin\left(\omega t\right)

Ein Kreis entsteht wenn die Oszillatoren in x und y-Richtung zu 90 Grad phasenverschoben sind, und die Amplitude gleich ist. Es muss also gelten, dass
a&=&\frac{v_{0}}{\omega}\\&&\\\Leftrightarrow v_{0}&=&a\omega

Das Teilchen kann keine nichtperiodische Bahn (hyperbel o.ä.) beschreiben, da es sich in einem Potentialtopf befindet, und dessen “Wände” unabhängig von der Gesamtenergie nicht überwinden kann.
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon Djuke » 26.01.2009 20:24

kann ich überall zustimmen.
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon Paul » 26.01.2009 21:52

hmm irgendwie is mir nich klar warum du sagst im punkt (a|0) hat das teilchen die kinetische energie=0 wo doch gerade in der aufgabenstellung gegeben ist dass es eben in diesem punkt die geschwindigkeit v0 hat... Achso oder betrachtest du nur die "kinetische Energie in x-Richtung"?
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon Musi24 » 26.01.2009 21:56

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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon mabl » 26.01.2009 22:00

Paul hat geschrieben:hmm irgendwie is mir nich klar warum du sagst im punkt (a|0) hat das teilchen die kinetische energie=0 wo doch gerade in der aufgabenstellung gegeben ist dass es eben in diesem punkt die geschwindigkeit v0 hat... Achso oder betrachtest du nur die "kinetische Energie in x-Richtung"?

Exakt - ich schaue mir erst den Oszillator auf der x-Achse an, und der hat laut Aufgabenstellung bei der Position x=a die Geschwindigkeit 0. Für die y-Richtung gilt, dass er bei y=0 die Geschwindigkeit v_0 hat - und das ist in dem Fall auch der Nulldurchgang, also die Stelle mit der maximalen Geschwindigkeit.
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon Paul » 26.01.2009 22:15

Gut Gut. Ich bin gerade nichtmehr so recht Fit, aber ließe sich nicht auch eine Bahnkurve Finden die sich irgendwie aus der Drehimpulserhaltung ergibt, also darauf dass das Produkt asu Geschwindigkeit und Abstand des Teilchens vom Ursprung Konstant sein muss?
Es gilt doch Drehimpulserhaltung oder^^? Also L= a*vo*m = const
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon mabl » 26.01.2009 22:28

Du meinst so wie wir das heute in der Vorlesung gemacht haben? Doch, das würde auch gehen, wäre aber mit den Integralen viel zu Umständlich. Du könntest dann am Ende E durch die Summe aus kin. und pot. Energie ersetzen (hast du ja aus der Aufgabenstellung). Vermutlich war es auch so gedacht gelöst zu werden :mrgreen: Aber mit 2-dimensionalen harmonischen Oszillator kann man es ja direkt im Kopf lösen :lol:
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon hoin » 28.01.2009 17:57

mal ne Frage: hat das jemand mit dem Energieansatz probiert?
Weil ich bekomme mit dem Ansatz
\frac{m}{2}\dot{\vec{x}}^2+\frac{1}{2}k\vec{x}^2=E=const. woraus mit \omega ^2=\sqrt{\frac{k}{m}}

\dot{\vec{x}}^2+\omega ^2 \vec{x}^2=E wird, unter zuhilfenahme von v_0^2+\omega^2a^2=E
nur auf den unhandlichen und mit einiger warscheinlichkeit auch falschen Ausdruck
x(t)=\frac{\sqrt{E}}{\omega}sin(\omega(t-t_o)+\omega \arcsin(\sqrt{1-\frac{v_o^2}{E}}))
( \textasciicircum{} ) $^{\dagger}<ucht||ens\ddot{a}ge>$
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon Joachim » 28.01.2009 18:15

@mabl
Wie kommst du zu der Schlussfolgerung, es seien keine nichtperiodischen Bahnen möglich? Also warum definitiv ein Potentialtopf? Könnte das Teilchen nicht eine Gesamtenergie
> Vmax haben? Bzw warum ist die Betrachtung unabhängig von Eges?
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Re: Aufgabe 50 (Blatt 13)

Beitragvon mabl » 28.01.2009 19:12

Naja die rueckstellende Kraft ist ja -kx, Das Potential also V(r)= 1/2*k*r^2. Es ist also eine nach oben offene Parabel. Egal wie gross die Gesamtenergie, es gibt immer zwei Waende, die die Schwingung "einsperrt"
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