Aufgabe 30 (Blatt 8)

Untote Übungsblätter

Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon mabl » 08.12.2008 19:29

a)
Zu lösen ist die lineare, inhomogene DGL \ddot{x}+2\dot{x}-3x=5 . Zuerst soll die allgemeine Lösung für die entsprechende homogene DGL \ddot{x}+2\dot{x}-3x=0 gefunden werden. Da konstante Koeffizienten vorliegen soll x=\mathrm{e}^{\gamma t} sein. Durch Einsetzen folgt:
\mathrm{e}^{\gamma t}\left(\gamma^{2}+2\gamma-3\right)&=&0\\&\Longleftrightarrow&\gamma^{2}+2\gamma-3=0\\\gamma_{1}=-3&;\,\,&\gamma_{2}=1
Dies entspricht der den linear unabhängigen Lösungen der Gleichung:
x^{(1)}&=&\mathrm{e}^{-3t}\\x^{(2)}&=&\mathrm{e}^{t}
Allgemeine Lösung der homogenen DGL als Linearkombination: x^{(0)}(t)=a^{(1)}\mathrm{e}^{-3t}+a^{(2)}\mathrm{e}^{t}

Zum Lösen der ursprüngliche inhomogene DGL \ddot{x}+2\dot{x}-3x=5 muss noch eine spezielle Lösung für die Gleichung gefunden werden. Diese ist u.A. erfüllt, wenn x(t)=-\frac{5}{3} gesetzt wird, da die Ableitungen dann Null ergeben.

Also folgt für die allgmeine Lösung der inhomogenen DGL: x^{(0)}(t)=a^{(1)}\mathrm{e}^{-3t}+a^{(2)}\mathrm{e}^{t}-\frac{5}{3}

b)Dieses mal in etwas gekürzter Form:
4\ddot{x}-9x&=&2t+1\\\mathrm{mit}\, x=\mathrm{e}^{\lambda t}&\Rightarrow&\mathrm{e}^{\lambda t}\left(4\lambda^{2}-9\right)=0\\&\Rightarrow&\lambda=\pm\frac{3}{2}\\&&\\\mathrm{Spezielle\, Loesung}&&x(t)=-\frac{2t+1}{9}\\\mathrm{Somit:}&&x^{(0)}(t)=a^{(1)}\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}+a^{(2)}\mathrm{e}^{\frac{3}{2}t}-\frac{2t+1}{9}

Allerdings bin ich mir bei dem Lambda von b) nicht mehr so sicher, da ich, als ich es mit Caro gerechnet habe, dafür andere Ergebnisse raus hatte.

EDIT: Muhhha das war meine 100 Post :D
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon Atomwürmchen » 08.12.2008 20:08

Des passt so mit dem plus minus 3/2
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon Kazaar » 08.12.2008 20:30

Die a) hast du schön beschrieben, Danke. Mir ist allerdings noch nicht klar, was in einer allgemeinen Lösung x^{(0)}(t) und a^{(i)} bedeuten. Vielleicht kann mir das jemand erklären. :)
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon tms » 08.12.2008 21:37

Kazaar hat geschrieben:Die a) hast du schön beschrieben, Danke. Mir ist allerdings noch nicht klar, was in einer allgemeinen Lösung x^{(0)}(t) und a^{(i)} bedeuten. Vielleicht kann mir das jemand erklären. :)
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon Kazaar » 09.12.2008 09:17

Bei der b) hab ich dasselbe raus wie mabl, auch wenn ich trotz der hilfreichen Antwort von tms ;) noch nicht weiß, was das jetzt alles bedeuten soll.
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon herzenskalt » 09.12.2008 14:51

Mir auch noch nicht ganz klar. Aber da es eine Linearkombination sein soll, werfe ich nach einiger Recherche im Netz einfach in den Raum, dass es wirklich nur das ist, wonach es aussieht:

x0(t) ist demnach nichts anderes als die allgemeine Lösung der DGL und a(1),... könnte genauso gut auch komplett anders heißen und sind Reskalierungsfaktoren. Wieso das jetzt allerdings mit Hochzahl in Klammern geschrieben wird, was irgendwie an eine Ableitung erinnert - keine Ahnung.

Aber, wie bereits aus der VL bekannt: Wenn a und b Lösungen der homogenen DGL sind, dann sind auch (unabhängige) Linearkombinationen davon Lösungen. Das weiter gedacht und noch ne Reihe nicht weiter bestimmter Faktoren davor gibt mMn obigen Term.

Einwände?
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon mabl » 09.12.2008 21:48

Nein, so sehe ich das auch. Auch wenn es wirklich etwas verwirrend ist.
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon mfs » 09.12.2008 22:00

herzenskalt hat geschrieben:Mir auch noch nicht ganz klar. Aber da es eine Linearkombination sein soll, werfe ich nach einiger Recherche im Netz einfach in den Raum, dass es wirklich nur das ist, wonach es aussieht:

x0(t) ist demnach nichts anderes als die allgemeine Lösung der DGL und a(1),... könnte genauso gut auch komplett anders heißen und sind Reskalierungsfaktoren. Wieso das jetzt allerdings mit Hochzahl in Klammern geschrieben wird, was irgendwie an eine Ableitung erinnert - keine Ahnung.

Aber, wie bereits aus der VL bekannt: Wenn a und b Lösungen der homogenen DGL sind, dann sind auch (unabhängige) Linearkombinationen davon Lösungen. Das weiter gedacht und noch ne Reihe nicht weiter bestimmter Faktoren davor gibt mMn obigen Term.

Einwände?


Nein. Du könntest statt den blöden a^{(1)}, a^{(2)} usw. auch einfach c_1, c_2 usw. schreiben (wie es z.B. im Rep. der HM gemacht wird).

Im Übrigen bin ich mit den Ergebnissen von mabl einverstanden.

MfG,
mfs.
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon Feanor » 09.12.2008 23:20

dito,kommen auf das gleiche wie mabl
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Re: Aufgabe 30 (Blatt 8)

Beitragvon herzenskalt » 10.12.2008 15:06

mfs hat geschrieben:Nein. Du könntest statt den blöden a^{(1)}, a^{(2)} usw. auch einfach c_1, c_2 usw. schreiben (wie es z.B. im Rep. der HM gemacht wird).


Alles klar... ich sag doch schon die ganze Zeit, dass Du das Buch brauchst :P
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