Aufgabe 32 (Blatt 8)

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Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Kazaar » 09.12.2008 20:46

Leute, postet mal eure Lösungen bzw. Ansätze für diese Aufgabe, ich will vergleichen. :)

Bei der a) hab ich für die Zeit der maximalen Höhe
\frac{m}{a}\:\ln\left(\frac{v \, sin\theta \, \alpha}{m\,g}+1\right) .

Für die Höhe selbst krieg ich
z_{max} = \frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta + \frac{mg}{\alpha}\right) \left(1 - \frac{mg}{v\sin\theta+mg}\right) - \frac{gm^{2}}{\alpha^{2}} \ln\left( \frac{v\sin\theta\, \alpha}{mg} + 1 \right) .

Und falls jemand 'ne Idee für die b) hat...
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Feanor » 09.12.2008 22:12

bei der b) würd ich mal einfach ne taylorreihenentwicklung versuchen mal sehen was passiert
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Atomwürmchen » 09.12.2008 23:41

Also bei der a) hab ich nen ähnlichen Krampf raus. Ich schätz mal, des is des gleiche.

Taylorreihenentwicklung hört sich natürlich gut an (auch wenn ich keine Ahnung davon habe), jedoch sagt mir das Rep, dass ich dazu f(x_0) ausrechnen muss. x_0 wäre in diesem Fall ja wohl alpha, wenn wir um alpha = 0 entwickeln dürfen. Wenn wir aber f(0) bilden, dann haben wir das große Problem, dass wir durch 0 teilen müssen, oder seh ich das falsch?
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Feanor » 10.12.2008 00:11

ich weiß hab das problem auch, hab aber auch schon von jemand anderem gehört dass es tatsächlich funktionieren soll, kA wie
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon mabl » 10.12.2008 13:40

ok hier mein persönlicher Vorschlag für die a), ist aber irgendwie etwas viel... Kann aber denke ich Kazaar damit bestätigen, auch wenn ich den zweiten Teil der a) etwas weiter vereinfacht habe :D

Finden des Maximums durch nullsetzen der ersten Ableitung:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z(t)&=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[-\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}t}\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)-\frac{mg}{\alpha}t\right]\\&=&-\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\cdot\left(-\frac{a}{m}\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)-\frac{mg}{\alpha}\\&=&\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}t}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)-\frac{mg}{\alpha}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z(t)&=&0\\\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}t}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)-\frac{mg}{\alpha}&=&0\\\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}t}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)&=&\frac{mg}{\alpha}\\\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}t}&=&\frac{mg}{\alpha\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)}\\t&=&-\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{mg}{\alpha\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)}\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta+mg}{mg}\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)

Höhe an diesem Punkt:
z(t=\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right))&=&\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m}\frac{m}{\alpha}\ln(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1)}\right)-\frac{m^{2}g}{\alpha^{2}}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\left(1-\frac{1}{\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)}\right)-\frac{m^{2}g}{\alpha^{2}}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)
=&\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\left(1-\frac{mg}{\alpha v\sin\theta+mg}\right)-\frac{m^{2}g}{\alpha^{2}}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)
=&\left[\frac{m}{\alpha}\left(\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)-\frac{mg}{\alpha v\sin\theta+mg}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\right)\right]-\frac{m^{2}g}{\alpha^{2}}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)
=&\left[\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}-\underset{=\frac{mg}{a}}{\underbrace{\frac{mg}{\alpha v\sin\theta+mg}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)}}\right)\right]-\frac{m^{2}g}{\alpha^{2}}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)
=&\frac{mv\sin\theta}{\alpha}-\frac{m^{2}g}{\alpha^{2}}\ln\left(\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}+1\right)
Zuletzt geändert von mabl am 10.12.2008 19:59, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: ln an einer Stelle vergessen
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon arminvanbuuren » 10.12.2008 13:44

du kannst das ergebnis aus der a) noch etwas vereinfachen:
Zmax = m/alpha *( v sin(teta) + mg/alpha * ln( mg / (alpha v sin(teta) + mg) )

das ist mein ergebnis. ist glöeich mit mabl, aber ich habe ein "+" statt "-"
mal gucken wer en fehler hat :)
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon mabl » 10.12.2008 16:59

Na ob das Ausklammern schöner ist, darüber kann man trefflich streiten ;) Außerdem stehe ich zu meinem Minus, das hat Kazaar auch.

Kazaar hat geschrieben:Für die Höhe selbst krieg ich
z_{max} = \frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta + \frac{mg}{\alpha}\right) \left(1 - \frac{mg}{{\color{red} \alpha}v\sin\theta+mg}\right) - \frac{gm^{2}}{\alpha^{2}} \ln\left( \frac{v\sin\theta\, \alpha}{mg} + 1 \right) .


Ich glaube dir fehlt da ein Alpha
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Hendrik » 10.12.2008 17:02

ihr habt genau das gleiche ergebnis. arminvanbuuren hat eben das minus in den ln gezogen, dann muss er innen den kehrwert bilden, was er auch gemacht hat. das ändert aber nix am ergebnis... ;-)
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon mabl » 10.12.2008 17:06

Hendrik hat geschrieben:ihr habt genau das gleiche ergebnis. arminvanbuuren hat eben das minus in den ln gezogen, dann muss er innen den kehrwert bilden, was er auch gemacht hat. das ändert aber nix am ergebnis... ;-)

Wie immer hast du recht - da habe ich nicht genau genug hingeschaut. bei der a) habe ich das ja auch selber gemacht ^^
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Hendrik » 10.12.2008 17:14

zur b) kann ich zumindest eine teillösung verkünden: die zeit, zu der der ball die maximale höhe erreicht, lässt sich durch eine taylorreihe darstellen. dazu leitet man das ergebnis aus der a) nach alpha ab. die ableitung wird nun mit alpha multipliziert und zu f(alpha) aus der a) addiert. man stellt fest, dass der logarithmusterm wegfällt. ein bruch bleibt stehen, in dem man nun alpha gleich null setzen kann, und es kommt raus t=v*sin(teta)/g, genau das gleiche ergebnis, wie wir bei der aufgabe ohne reibung auf einem der vorherigen blätter hatten. den genauen rechenweg stelle ich online, sobald ich das ins reine geschrieben hab, am liebsten mit der lösung für die reihe zur beschreibung der maximalen höhe, aber da hänge ich gerad ziemlich.
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