Aufgabe 32 (Blatt 8)

Untote Übungsblätter

Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Atomwürmchen » 10.12.2008 21:11

Also ich hab die Zeit zuerst berechnet ... funktioniert alles wunderbar.
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon mfs » 10.12.2008 21:21

Ich hab jetzt auch die c). Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
z(t)=0\\\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)-\frac{mg}{\alpha}t=0\\\\\text{Substituiere }x:=-\frac{\alpha}{m}t\\\\\frac{m}{\alpha}\left(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha}\right)\left(1-e^x\right)-\frac{mg}{\alpha}t=0\\\\\text{Entwickle }e^x:\\e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2\\\\\text{eingesetzt in z(t)=0:}\\\frac{m}{\alpha}(v\sin\theta+\frac{mg}{\alpha})(-x-\frac{x^2}{2})-\frac{mg}{\alpha}t=0\\\\\text{Ruecksubstituiert und vereinfacht erhaelt man}\\vtsin\theta-\frac{\alpha vt^2\sin\theta}{2m}-\frac{1}{2}gt^2=0.\\\\\text{Der Term mit }\alpha\text{ fliegt raus fuer }\alpha\rightarrow 0\text{. Also:}\\\\vt\sin\theta-\frac{1}{2}gt^2=0\\t_1=0, t_2=\frac{2v\sin\theta}{g}

Dieses t_2 setzt man dann in x(t) ein und geht analog vor (also wieder den Exponenten von e substituieren, e^x entwickeln, vereinfachen). Lässt man hier \alpha nicht gegen 0 gehen, sondern lässt man den ersten Korrekturterm drin, dann bleibt zum Schluss x(t_2)=\frac{v^2\sin 2\theta}{g}\left(1-\frac{\alpha v\sin\theta}{mg}\right) stehen. An diesem Term sieht man dann auch, dass die Wurfweite mit Reibung bei gleichem v und gleichem Winkel kleiner ist als ohne Reibung.

MfG,
mfs.
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Hendrik » 10.12.2008 21:38

ich danke christian und mfs für diese guten lösungen, auf die ich alleine wohl kaum gekommen wär. ich hab zwar noch nicht so ganz begriffen, warum man da einfach mal substituieren kann und dann die übrigen alphas vergessen kann, aber ich bin sicher, dass wir das in einer der nächsten vorlesungen lernen werden...
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Feanor » 10.12.2008 22:00

respekt, da hätte ich noch stunden rechnen können
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Jonas » 11.12.2008 13:14

vielen Dank für die tollen Lösungen :)
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon 2X100 » 11.12.2008 15:48

Hallo erstmal^^

Also, unser Lösungsvorschlag zur 32 b)

TIPP: Entwickelt die Taylorreihe des ln:
Bild (siehe Wikipedia zur Taylorreihe)

Für alpha = 0 gilt dann:
t(alpha)
z(alpha)

Hoffe wir haben Mütterchen Mathematik nicht vergewaltigt. ;-)
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon miriam » 11.12.2008 18:48

@ 2X100 :

eure lösung scheint mir die beste zu sein ......man muss nicht viel rechnen und nicht viel rumtricksen um auf das ergebnis zu kommen. im gegensatz dazu wenn man die allg. taylor reihe nimmt.

auch die ergebnisse erscheinen mir als richtig

man kann sagen wenn der reibungskoeefizient alpha und damit die reibung gegen null strebt, strebt der zeit punkt der max. höhe und die max. höhe gegen die werte des schiefen wurfs ohne reibung..


ihr seid die besten....

edit:
kann auch die lösung von mfs für die c) nur bestätigen.
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon Shadak » 11.12.2008 20:13

ich hab die 32 erstaunlicherweise ähnlich wie mabl gemacht, aber eindeutiger. hier mal die a). die b) folgt sobald ich sie fertig habe.(ich hab gerade meine abendplanung verworfen...bin also dran...erstmal taylorreihenentwicklung verstehen...)

32)

a)

z(t)&=&max\\&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)\cdot\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}\cdot t}\right)-\frac{m\cdot g}{\alpha}\cdot t\\\dot{z}(t_{1})&=&0\\0&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)\cdot\left(\frac{\alpha}{m}\cdot e^{-\frac{\alpha}{m}\cdot t}\right)-\frac{m\cdot g}{\alpha}\\0&=&\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)\cdot e^{-\frac{\alpha}{m}\cdot t}-\frac{m\cdot g}{\alpha}\\\frac{m\cdot g}{\alpha\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)}&=&e^{-\frac{\alpha}{m}\cdot t}\\\ln\left(\frac{m\cdot g}{\alpha\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)}\right)&=&-\frac{\alpha}{m}\cdot t\\-\frac{m}{\alpha}\cdot\ln\left(\frac{m\cdot g}{\alpha\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)}\right)&=&t_{1}\\-\frac{m}{\alpha}\cdot\ln\left(\frac{m\cdot g}{\alpha\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}\right)&=&t_{1}
\frac{m}{\alpha}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)&=&t_{1}\\z(t_{1})&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)\cdot\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}\cdot\left(\frac{m}{\alpha}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)\right)}\right)-\frac{m\cdot g}{\alpha}\cdot\left(\frac{m}{\alpha}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)\cdot\left(1-\frac{m\cdot g}{\alpha\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}\right)-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)
&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}-\frac{m\cdot g}{\alpha\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}\cdot\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}{\alpha}\right)\right)-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}-\frac{m\cdot g\cdot\alpha\cdot v\cdot sin\theta+m^{2}\cdot g^{2}}{\alpha^{2}\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}\right)-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}-m\cdot g\cdot\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}{\alpha^{2}\cdot v\cdot sin\theta+m\cdot g}\right)\right)-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)
&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}-m\cdot g\cdot\left(\frac{1}{\alpha}\right)\right)-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\cdot\left(v\cdot sin\theta+\frac{m\cdot g}{\alpha}-\frac{m\cdot g}{\alpha}\right)-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)\\&=&\frac{m}{\alpha}\cdot v\cdot sin\theta-\frac{m^{2}\cdot g}{\alpha^{2}}\cdot\ln\left(\frac{\alpha\cdot v\cdot sin\theta}{m\cdot g}+1\right)

btw kann es sein das der tex-tag ne zeichenbegrenzung hat?
6171*2^{481145}+1 ist prim
wer hat es gemerkt? ich xD
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon mfs » 11.12.2008 20:51

Shadak hat geschrieben:btw kann es sein das der tex-tag ne zeichenbegrenzung hat?

Jop, das Einbinden der \TeX -Grafiken funktioniert über eine GET-Methode (dein kompletter TexT wird also in eine URL reingeschrieben). Und URLs dürfen je nach Browser nur so 2000 Zeichen haben. Du kannst aber lange TexTe einfach in mehreren tex-Blöcken in deinen Post einbauen.

MfG,
mfs.
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Re: Aufgabe 32 (Blatt 8)

Beitragvon reynhold » 12.12.2008 14:54

Ich sehe bei der Lösung zur 32 b) nur ein Problem: es heisst ja eigentlich wir sollen nur bis zum ersten, nicht-verschwindenden Korrekturterm entwickeln...
Aber bei z(t) wird doch da weiter entwickelt...

Edit: Ich habe nichts gesagt. n=2 ist ja in diesem Fall der erste nicht-verschwindende Korrekturterm... :oops:
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