Aufgabe 35 (Blatt 9)

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Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon M.A. » 15.12.2008 18:58

Wer den Nolting hat ist im Vorteil: Die Aufgabe steht da genau so und demnach sind auch hinten drin die Lösungen zu finden. Ich hab vor allem bei der c) etwas anders gerechnet, aber das Ergebnis stimmt überein.

Meine Ergebnisse:

a)
x ist die länge des seilstücks das über die kante hängt, nur hierrauf wirkt die Gewichtskraft.
m\ddot{x}=\frac{x}{l}mg
a(t)=\frac{g}{l}x(t)


b)Wie üblich die DGL lösen mit x=e^yt etc...
Anfangsbedingungen: x(0)=x_0 und v(0)=0.
x(t)=\frac{x_{0}}{2}(e^{\sqrt{\frac{g}{l}}t}+e^{-\sqrt{\frac{g}{l}}t})=x_{0}\cosh(\sqrt{\frac{g}{l}t})

c) Mit x(t)=l die Zeit T ausrechnen, die das Seil zum komplett über die Kante rutschen braucht:
T=\cosh^{-1} \frac{l}{x_{0}}\sqrt{\frac{l}{g}}
Dass dann in \dot{x} einsetzen und vereinfachen (alles quadrieren und dann den sinh mit cosh²x-sinh²x=1 umformen und der cosh fliegt mit dem arcosh raus)
v=\dot{x}(T)=\sqrt{g(l-\frac{x_0^{2}}{l})}
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon Lutz » 15.12.2008 23:45

mhhh ich habs eigentlich gleich bis auf die c)
auch nach mehrmaligen durchlesen kann ich nicht genau erkennen ob die gesamtlänge des seils jetz l ist oder ob l nur das teilstück auf dem tisch ist, ich glaub aber zweiteres, dann ändern sich nur bissel ausdrücke aber das prinzip bleibt gleich
somit würde nicht die (meiner meinung gesamtlänge) l abrutschen sondern nur ein teil

hab \l=x_{0}+x_{1} wobei \ x_{1} halt das Stück auf dem Tisch ist

damit hat man dann \ v=\sqrt{\frac{g}{l}(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})}

hat sich erledigt, die aufgabe steht haargenau so im nolting auf seite 173...
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon reynhold » 17.12.2008 15:17

Bin mit der a) und der b) einverstanden, allerdings frage ich mich bei der c) ob die Zeit T die du einsetzt stimmt...
Ich habe da folgendes:

t = \sqrt\frac{l}{g} arcosh (\frac{l}{x_0})

Dementsprechend habe ich bei der Geschwindigkeit auch ein leicht abweichendes Resultat. Wenn der Nolting die Lösung aber so angibt... :?:
Zuletzt geändert von reynhold am 17.12.2008 16:24, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon herzenskalt » 17.12.2008 16:08

Habe den gleichen Einwand wie Lutz. In den Nolting habe ich noch gar nicht geschaut. (Edit: jetzt schon.)
Für mich ist l klar die komplette Seillänge, und das Seil ist vom Tisch, wenn l-x0 abgerutscht ist...

// Edit: Oder allgemeiner, mal zum Durchdenken: Wie liegt denn unser KOS? Angenommen der Ursprung sei genau die infinitesimale Kante des Tischs und die Achsen so gewählt, dass x0 meinetwegen positiv ist. Das Seil befindet sich dann nicht mehr auf dem Tisch, wenn l-x0 abgerutscht ist. Das im Nolting ist entweder ein Logikfehler oder ich häng mich wieder bei der Hirnakrobatik auf, was wahrscheinlicher ist. Feedback, bitte.

Yann: Denke er meint das gleiche. Übrigens: Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus heißt nicht Arkuskosinus Hyperbolicus sondern Areakosinus Hyperbolicus, also in der Schreibweise ein c weniger -> arcosh (x)
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon reynhold » 17.12.2008 16:25

Na ja, mein Problem ist dass ich für die Geschwindigkeit einen recht hässlichen Ausdruck rausbekommen wenn ich mein t einsetze...
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon tms » 17.12.2008 17:34

Musst noch ein bischen HM nutzen ;)

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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon Joachim » 17.12.2008 17:52

Habe gerade vor dem Lesen hier und im Nolting mich ebenfalls an der Länge des abrutschenden Seils aufgehangen. Kann mich euch da nur anschließen. Wenn explizit x0 schon vom tisch runter hängt, kann auch nur noch l-x0 abrutschen. Für mich Logikfehler im Nolting.

Edit:
Blödsinn, wenn mindestens x0 herabhängt, zudem noch x0-l herabrutscht, ist x(t) = l
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon Joachim » 17.12.2008 19:00

Ich komm aber partout nicht darauf, wie die Vereinfachung funktionieren soll. Wenn ich alles quadriere, habe ich sinh². Den ersetzen durch cosh² -1. Über das einsetzen von t bekomme ich doch aber nur einen arcosh. Dann bleibt doch noch ein cosh übrig?!
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon herzenskalt » 17.12.2008 19:19

Ach... verdammt. Natürlich.

Als Ergebnis habe ich dann \sqrt{\frac{g}{l}} * (l-x_{0}). , was zumindest mal von den Einheiten her auch sinnvoll erscheint...

Joachim hat geschrieben:Ich komm aber partout nicht darauf, wie die Vereinfachung funktionieren soll. Wenn ich alles quadriere, habe ich sinh². Den ersetzen durch cosh² -1. Über das einsetzen von t bekomme ich doch aber nur einen arcosh. Dann bleibt doch noch ein cosh übrig?!


Erst alles quadrieren. Dann sinh durch cosh ersetzen und hinten dran die Faktoren von vorne abziehen (wegen dem Minus, Klammer beachten!). Dann Wurzel ziehen, und siehe da: Funktion mit Umkehrfunktion als Argument steht da...
Zuletzt geändert von herzenskalt am 17.12.2008 19:21, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Aufgabe 35 (Blatt 9)

Beitragvon Joachim » 17.12.2008 19:36

Hatte es jetzt auch gerade, trotzdem danke.
Naja, wenn die Lösung schon im Nolting steht, kann man ihr eigentlich fast nicht vorwerfen, dass sie mies formuliert ist ;)

Hinweis, falls noch jemand darüber stolpert: Im Nolting steht, man solle die 2. Gleichung quadrieren. Man muss jedoch beide quadrieren und die erste nach cosh²(...) auflösen. Damit ersetzt man dann das cosh²(...) in der quadrierten 2. Gleichung und alles löst sich in Wohlgefallen auf.
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