Aufgabe 37 (Blatt 9)

Untote Übungsblätter

Aufgabe 37 (Blatt 9)

Beitragvon mioweber » 16.12.2008 14:11

Hmm könnte folgender Ansatz was bringen:

F_{coriolis}+F_{zentrifugal}=m\:a ?
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon Kazaar » 16.12.2008 19:05

Da wir das Ganze von außen, aus einem Inertialsystem betrachten sollen, denke ich nicht, dass wir mit Scheinkräften auf dem Karussel weiterkommen. Ich sehe auch noch nicht, warum man überhaupt was mit Kräften machen sollte. Vielleicht ist es damit aber auch anschaulicher.
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon mioweber » 16.12.2008 20:28

naja eine andere möglichkeit wäre das Koordinatensystem zu drehen. aber wie kommt man dann auf eine DGL? gut man kann dann sicher eine konstruieren. aber ich denke wenn wir es derzeit mit bewegungsgleichungen zu tun haben sollte man es vll doch mit den scheinkräften probieren, die "wirken" ja auf die Person sonst würde sie ja nicht abgelenkt werden.
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon mioweber » 16.12.2008 20:40

so hab mal was: \begin{array}{c}v0\:\cos\omega\: t+x0\:\cos\omega\: t-y0\:\sin\omega t\\v0\:\sin\omega\: t+x0\:\sin\omega\: t+y0\:\cos\omega t\\0\end{array}
ich hab jetzt den Vektor r mal die Drehmatrix (ich hoffe die Reihenfolge stimmt).
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Grund: Zeilenumbruch aus tex-code entfernt
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon Feanor » 17.12.2008 13:17

hat jemand ahnung wegen der DGL ich glaub ohne die läuftnix
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon mabl » 17.12.2008 14:11

mioweber hat geschrieben:so hab mal was: \begin{array}{c}v0\:\cos\omega\: t+x0\:\cos\omega\: t-y0\:\sin\omega t\\v0\:\sin\omega\: t+x0\:\sin\omega\: t+y0\:\cos\omega t\\0\end{array}
ich hab jetzt den Vektor r mal die Drehmatrix (ich hoffe die Reihenfolge stimmt).


Den Gedankengang blicke ich nicht... Könntest du das noch etwas ausführen? :mrgreen:


So also ich denke wir sind uns einig, dass wir hier mit Kräften nicht weiter kommen, ergo hat unsere DGL auch maximal die erste Ableitung drinnen. Sprich wir müssen Ort und Geschwindigkeit unter einen Hut bringen.

Sei \vec{r} die Bahnkurve der Person die auf dem Karussell geht, und \vec{k} die Bewegung eines Teilchens auf dem Kreis mit dem Abstand eins, dann ist |\vec{r}|\cdot\dot{\vec{k}} gleich die Tangentialgeschwindigkeit, die die Person auf dem Karussel erfährt. Hinzu kommt noch eine konstante x-Komponente, die Bewegung nach Osten. Es gilt also:
\dot{\vec{r}}&=&\dot{\vec{k}}(\vec{r})+\vec{v}_{ost}

Ich habe auch schon ein Programm geschrieben um dieses Bewegung zu simulieren, aber ich scheitere gerade an meiner eigen Blödheit \dot{\vec{k}}(\vec{r}) mit kartesischen Koordinaten zu berechnen.... ^^ Scheix winkel :mrgreen:

EDIT: Ok, was natürlich total logisch ist, ist dass
\dot{\vec{k}}(\vec{r})=|\vec{r}|\omega\hat{r}_{\perp}=r\omega\left(\begin{array}{c}-\hat{r}_{y}\\\hat{r}_{x}\end{array}\right)=\omega\left(\begin{array}{c}-r_{y}\\r_{x}\end{array}\right)
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon mioweber » 17.12.2008 15:52

ja ehm ich hab einfach das Koordinatensystem um die z-Achse gedreht und zwar mit \omega\:t ich habe aber einen rechenfehler drin merke ich gerade!!!
wäre es vll geschickt das Karussell durch ein Vektorfeld zu beschreiben (der Ansatz ist von jemandem anderes, aber diese Idee hatten wir halt noch nicht)
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon mabl » 17.12.2008 16:04

Das mit dem Vektorfeld mache ich ja schon mit meinem k(r) ;) Die Differentialgleichung stimmt so auch, ich habe dazu mal ein Programm geschrieben, dass das ganze simuliert. Dazu braucht man python und die pylab bindings. Wenn jemand Linux hat, so kann er das ganz einfach über die Paketverwaltung installieren. Ich hänge das ganze mal an, auch mit ein paar Kurven die ich damit erzeugt habe.

EDIT:
Die DGL lauten dann also:
\dot{\vec{r}}&=&|\vec{r}|\cdot\omega\cdot\vec{r}_{\perp}\\&&\\\dot{r_{x}}&=&-\omega r_{y}\\\dot{r_{y}}&=&-\omega r_{x}

Und ich gehe jede Wette ein, dass wenn man das gelöst hat irgendwas mit sin/cos rauskommt, und das ganze nur verschoben, ein verschobener Kreis also.
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sim1.png
x0=0; y0=1
v_ost=0; omega= 1
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sim2.png
x0=0; y0=1
v_ost=1; omega= 1
(14.62 KiB) 47-mal heruntergeladen
sim3.png
x0=0; y0=1
v_ost=1.5; omega= 1
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sim4png.png
x0=0; y0=1
v_ost=0.5; omega= 1
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sim5.png
x0=1; y0=1
v_ost=0.2; omega= 1
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theo.py
Programmcode in Python, nicht schön, aber es geht..
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon mabl » 17.12.2008 16:24

Kann ich das lösen, indem ich eine seite nochmal die r um eins weiter ableite, also:

\dot{r_{x}}&=&-\omega r_{y}\\\dot{r_{y}}&=&-\omega r_{x}\\&&\\\ddot{r}_{x}&=&-\omega\dot{r}_{y}\\&=&\omega^{2}r_{x}\\&&\\\ddot{r}_{x}-\omega^{2}r_{x}&=&0\\\mathrm{e^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+\omega^{2}\right)}&=&0\\\lambda_{\pm}&=&\pm i\omega^{2}\\&&\\r_{x}&=&a_{1}\mathrm{e^{i\omega^{2}t}}+a_{2}\mathrm{e}^{-i\omega^{2}t}\\&=&(a_{1}+a_{2})\cos\left(\omega^{2}t\right)+i(a_{1}-a_{2})\sin\left(\omega^{2}t\right)

Und davon interessiert jetzt nur der Realteil, oder?
Gleiches folgt für die y-Komponente. Dann kann man alle parameter durch die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit bestimmen -> Voila?!


EDIT: MOMENT noch ein kleiner fehler drin, deswegen gibts keinen sinus - hab ich aber gleich behoben
EDIT2: Ok jetzt sollten es Winkelfunktionen sein, so wies sein sollte :)
EDIT3: Erweiterungen
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Re: Aufgabe 37

Beitragvon Hendrik » 17.12.2008 16:35

so, unabhängig von dem, was mabl gerad gepostet hat, poste ich jetzt mal die lösungen, die für die a) und b) heute bei intensiver diskussion innerhalb meiner lerngruppe entstanden sind. ansatz sind tatsächlich die kräfte, und wir kommen auf die lösung, die mabl eben genannt hat. man hat quasi die kreisgleichung mit einem verschiebungsfaktor in x-richtung. zwischendrin muss man in unserer rechnung das ein bisschen hinbiegen, ich hoffe aber, es ist verständlich.
achtung, wichtiger EDIT: feanor hat recht und hat zwei fehler bemerkt. auf die erste seite muss unten rechts in der gleichung noch +v*t stehen, auf der zweiten seite ist es nicht zulässig, den radius rauszuziehen, denn v*t wird natürlich nicht mit dem radius multipliziert. danke!
Dateianhänge
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