Aufgabe 36 (Blatt 9)

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Aufgabe 36 (Blatt 9)

Beitragvon mioweber » 17.12.2008 16:02

Ich denke die Aufgabe macht keine großen Probleme. Bei der ersten teilaufgabe wendet man die Additionstheoreme an und dann muss man nur ein paar Äquivalenzumformungen durchführen.

A\:\sin(\omega\: t+\phi)=A\:\cos(\phi)\:\sin(\omega\: t)+A\:\sin(\phi)\:\cos(\omega\: t)

naja man sieht was A_1 und A_2 sein müssen.

desweitern ist:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\tan(\phi) und A^{2}=A_{2}^{2}+A_{1}^{2}
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon reynhold » 17.12.2008 16:23

Hab einen anderen Ansatz genommen.

Habe zuerst die beiden x(t) in die DGL eingesetzt und gezeigt dass es in beiden Fällen 0 ergibt.
Dann habe ich beide x(t) abgeleitet und gleichgesetzt, da v(t) gleich sein muss. Ergibt dann folgendes:

\omega A cos(\omega t + \phi) = -\omega A_1sin (\omega t) + \omega A_2cos (\omega t)

A = \frac {A_2 cos (\omega t) - A_1 sin (\omega t)}{cos (\omega t + \phi)}

Dann wendet man das Additionstheorem cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) an und erhält nach Vereinfachung:

A = \frac {A_2 - A_1}{cos (\phi) - sin (\phi)}
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon Hendrik » 17.12.2008 16:46

den ersten teil hab ich so gelöst wie mioweber. beim zweiten teil bin ich mir nicht so sicher, wie das gemeint ist. ich hab es jetzt mal so aufgefasst, dass man phi in abhängigkeit von A darstellen soll und A1 in Abhängigkeit von A2, d.h. zwei gleichungen.
A=A2/cos(phi)=A1/sin(phi) und A1=A2*tan(phi).
Wenn das nun natürlich so gemeint ist, alle vier auf einmal in eine Abhängigkeit zu bringen, dann sieht die Lösung von reynhold gut aus.
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon mioweber » 17.12.2008 17:37

je nachdem was man berechnen will sehen die zusammenhänge immer anders aus mann könnte wahrscheinlich x-verschiedene hinschreiben. zu einer einzelnen gleichung kann man sie denke ich immer zusammenfassen.
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon herzenskalt » 17.12.2008 20:43

reynhold hat geschrieben:
Dann wendet man das Additionstheorem cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) an und erhält nach Vereinfachung:

A = \frac {A_2 - A_1}{cos (\phi) - sin (\phi)}


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Re: Aufgabe 36

Beitragvon PatrickM » 17.12.2008 21:59

Ähm, im Grunde haben wir das 1:1 in der letzten Vorlesung gemacht. Dort hatten wir mal an einer Stelle
2a\cos(\omega\:t) - 2b\sin(\omega\:t)
stehen. In unserem Fall ist dann A1 = 2a und A2 = 2b. Die Umwandlung in die Form A\cos(\omega\:t+\phi) steht drunter, dann muss man nur noch vom Argument des Cosinus \frac{\pi}{2} abziehen und man hat den Sinus..
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon herzenskalt » 18.12.2008 00:17

/Edit: Die Lösung von mir war Quark.

Mir widerstrebt es, die Aufgabe so wie oben zu lösen - einfach gleichsetzen und dann A1 / A2 nach belieben wählen, so dass es eben gerade passt... ich weiß nicht.

@ reynhold: Wieso muss eigentlich gerade die erste Ableitung identisch sein? Wenn die Gleichungen doch ohnehin identisch sind...

In dem Sinne...
Zuletzt geändert von herzenskalt am 19.12.2008 10:06, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon Lars1991 » 18.12.2008 14:49

also am einfachsten und auf jeden fall richtig^^ ist dieser ansatz.

x(t) = A1 * cos (wt) + A2 * sin (wt) darf ich ja auch umschreiben zu:

x(t) = sqrt(A1^2 + A2^2) * [ A1/(sqrt (A1^2 + A2^2)) * cos(wt) + A2/(sqrt (A1^2 + A2^2)) *sin(wt)]

ausmultipliziert ergibt das ja wieder das selbe wie oben.
jetzt definiere ich mein sqrt(A1^2 + A2^2) = A

(durch pythagoras) folgt A1/(sqrt(A1^2 + A2^2)) = sin(teta) bzw A2/(sqrt(A1^2 + A2^2)) = cos(teta)

daraus folgt:

x(t) = A * [sin(teta)*cos(wt) + cos(teta)*sin(wt)] mit Additionstheorem:

x(t) = A sin(wt+teta)

das das richtig ist kann ich so selbstsicher sagen, weil ich im nolting den selben weg gefunden habe^^ (in meiner ausgabe) S.148
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon herzenskalt » 18.12.2008 16:33

Lars1991 hat geschrieben:jetzt definiere ich mein sqrt(A1^2 + A2^2) = A


Asche über mein Haupt, aber kann mir jemand erklären, warm das zwangsläufig so sein muss?
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Re: Aufgabe 36

Beitragvon Joachim » 18.12.2008 17:58

Ich nehme an, das steht quasi für Betrag. Wie bei einem Vektor.

Abgesehen davon scheint das eigentlich auch nur der umgekehrte Weg zur oben geposteten Lösung zu sein....
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