Physik - Uni Karlsruhe

von **the p0l0x** » 22.12.2008 18:56

Hi,

x(t)=a_1+a_2*e^(beta*t)+a_3*t*e^(beta*t)

phi(t)=t
...allerdings hab ich das durch ausprobieren herausbekommen, da nach einsetzen des ansatzes viele lösungen für phi(t) möglich waren.

von **neutron** » 23.12.2008 17:46

Hallo,
kann mal bitte jemand das Blatt hochladen, es ist noch nicht auf der HP.
Das wäre super!!
Frohe Weihnachten

von **moggi** » 28.12.2008 00:21

Hi,

hier mal meine Idee um die Aufgabe zu lösen.

Die ersten beiden Lösungen bekommt man ja mit dem Ansatz $x(t)=e^{\lamda t}$
Dabei erhält man die Lösungen $x_1(t)=1\\x_2(t)=e^{\beta t}$
Da $\beta$ die doppelte Nullstelle des Ansatzes ist, nutzt man jetzt als Ansatz um den Rest zu lösen:
$x(t)=e^{\beta t}\phi (t)\\\dot{x} (t)=\beta e^{\beta t}\phi (t)+e^{\beta t}\dot{\phi }(t)\\\ddot{x} (t)=\beta^2 e^{\beta t}\phi (t)+2\beta e^{\beta t}\dot{\phi }(t)+e^{\beta t}\ddot{\phi}(t)\\\dddot{x} (t)=\beta^3 e^{\beta t}\phi (t)+3\beta^2 e^{\beta t}\dot{\phi }(t)+3\beta e^{\beta t}\ddot{\phi } (t)+e^{\beta t}\dddot{\phi }(t)$
Dies setzt man nun ein in die DGL:
$\left[ \beta^3 e^{\beta t}\phi (t)+3\beta^2 e^{\beta t}\dot{\phi }(t)+3\beta e^{\beta t}\ddot{\phi } (t)+e^{\beta t}\dddot{\phi }\right] -2\beta\left[\beta^2 e^{\beta t}\phi (t)+2\beta e^{\beta t}\dot{\phi}(t)+e^{\beta t}\ddot{\phi}(t)\right] +\beta^2\left[\beta e^{\beta t}\phi (t)+e^{\beta t}\dot{\phi }(t)\right]=0$
Umformen ergibt dann:
$\dddot{\phi}(t)+\beta \ddot{\phi}(t)=0\\\rightarrow \phi(t)=a*t$
Wir können aber a=1 setzen, da in unserer allgemeinen Lösung das a ja noch mit dem Koeffizienten Multipliziert wird.
Also bekommen wir die allgemeine Lösung:
$x(t)=a_1+a_2\cdot e^{\beta t}+a_3\cdot t\cdot e^{\beta t}$

von **Atomwürmchen** » 30.12.2008 18:08

Ich hab irgendwie noch meine Probleme mit der generellen Vorgehensweise. Und zwar haben wir ja eine homogene Gleichung, d.h. wir suchen ja eigentlich nur allgemeine Lösungen.
Aber du schnappst dir ja mit deinem $a{\cdot}t$ eine spezielle Lösung. Irgendwie hab ich da noch nen Knoten im Kopp.

von **moggi** » 31.12.2008 15:17

Hi Atomwürmchen,

du hast ja sozusagen 2 Faktoren, die du miteinander multiplizierst und die beide von den Anfangsbedingungen abhängig sind, daher kannst du die beiden zusammenfassen und und einen neuen Faktor einführen, der das Produkt der beiden ist.

Gruß Moggi

von **Atomwürmchen** » 01.01.2009 15:34

Hi Moggi,
frohes neues erstmal

Das mit den Faktoren war nicht mein Problem.
Was du ja praktisch sagst, ist, dass wenn zweite Ableitung plus dritte Ableitung 0 ergibt, dass dann die Lösung der DGL $a{\cdot}t$ ist. Stimmt natürlich. Aber das ist ja eine spezielle Lösung. Eine allgemeine Lösung wäre doch mit einem $e^\lambda$ Ansatz, weil es sich ja um eine lineare DGL handelt. Nur mit diesem Ansatz kommt man nicht weiter

Also ich glaube, dass deine Lösung stimmt, aber irgendwie bin ich mit DGLs und was man da machen darf und was nicht, noch nicht so ganz per du ...

von **moggi** » 01.01.2009 23:26

Hi Atomwürmchen,

ja das find ich auch sonderbar, jedoch scheint der Ansatz $x(t)=e^{\labda t}$ nur bis zu DGLs 2.Ordnung zu funktionieren, sonst wäre die ganze Aufgabe ja nicht nötig.

Jedoch sieht man der DGL: $\dddot{\phi}(t)+\beta \ddot{\phi}(t)=0$ die Lösung schon direkt an, daher vermute ich hat man uns auch den Tipp mit diesem Ansatz gegben.
Ansonsten geht es mir aber wie dir, dass ich mir nicht immer sicher bin, was ich machen darf um die DGL zu lösen.

Gruß moggi

von **Schlumpfi** » 02.01.2009 15:43

hi Leute
wie wäs wenn ihr die gleichung mit den phi´s einfach mal allegmein aufleitet dann erhaltet ihr eine inhomogene DGL 2. Grades und die könnt ihr mit dem normalen ansatz lösen.
da kommen dann 3 "lösungen" raus 2 davon hat man schon und die dritte is die neue Phi(t)=a*t
Ich denke des erklärt warum man da den ganz normalen Ansatz trotzdem verwenden darf

von **G-point** » 09.01.2009 18:17

ich bin jetz genau bei dem schritt $\beta\ddot{\phi}(t) + \dddot{\phi}(t)=0$

Nur versteh ich jetz nicht wie ihr auf das t für das $\phi(t)$ kommt? Da steh ich echt aufem schlauch, kann mich einer erhellen?

von **Kazaar** » 10.01.2009 12:44

Ich hab das geraten. Ich wäre aber froh, falls ich es nicht raten müsste, sondern es einen Weg dahin gäbe.

Physik - Uni Karlsruhe

Aufgabe 38 (Blatt 10)

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