Aufgabe 38 (Blatt 10)

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Re: Aufgabe 38 (Blatt 10)

Beitragvon M.A. » 10.01.2009 13:11

Hatte das gleiche Problem. Was haltet ihr von folgendem Ansatz:

Die Formel mit dem \dddot\phi wird einmal integriert:
\beta\dot\phi+\ddot\phi=c
(0 integriert gibt ne Konstante, hab sie c genannt)
Mit dem Standardansatz \phi=e^{\lambda t} kommt man dann auf:
e^{\lambda t}\lambda(\beta + \lambda)=0 , und somit auf \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-\beta
Jetzt suchen wir noch eine spezielle Lösung für die inhomogene DGL und kommen (durch ausprobieren, raten, was auch immer, bei der speziellen Lösung is ja alles erlaubt, hauptsache es stimmt) auf \frac{c}{\beta}t , da c ja eine beliebige Konstante ist könne wir a_3 als c/beta definieren.
Daher:
\phi=a_{1}e^{-\beta t}+a_{2}\cdot 1+a_{3}t
Das noch in in die Formel für x(t) einsetzen und man bekommt als Endergebnis:
x(t)=a_{1}+a_{2}e^{\beta t}+a_{3}te^{\beta t}
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Re: Aufgabe 38 (Blatt 10)

Beitragvon PatrickM » 10.01.2009 13:36

Es gibt einen Weg dahin.

Ich versuche das mal zu erklären:
Die DGL $\beta\ddot{\phi}(t)+\dddot{\phi}(t) = 0$ kann aufgrund ihrer Struktur ja offensichtlich nur von Funktionen maximal ersten Grades gelöst werden. Für den Speziallfall $\beta = 0$ auch von Funktionen zweiten Grades, das spielt aber hier keine Rolle, da $\beta  \epsilon  \mathbb{R}$ . Die allgemeine Lösung muss also so aussehen:

$\phi(t) = c \cdot t + d$

Führt man das nun weiter und setzt in $x(t)$ ein, erhält man:

$x(t) = e^{\beta t}(c \cdot t + d) = c \cdot t \cdot e^{\beta t} + d \cdot e^{\beta t}$

So und nun bildet man die Linearkombination aus dieser Gleichung und der gewöhnlichen Lösung und erhält so die allgemeine Lösung der DGL:

$\begin{align*} x(t) &= p \cdot (A_1 + A_2 \cdot e^{\beta t}) + q \cdot (c \cdot t \cdot e^{\beta t} + d \cdot e^{\beta t}) \\ &= A_1 \cdot p + (A_2 \cdot p + q \cdot d)e^{\beta t} + c \cdot q \cdot t \cdot e^{\beta t} \\ &= a_1 + a_2 \cdot e^{\beta t} + a_3 \cdot t \cdot e^{\beta t} \end{align*}$

Falls jemandem Fehler auffallen oder das ganze totaler Müll ist, bitte mitteilen, sonst geb ich das so ab :D

EDIT: Mist, jetzt ist mir M.A. zuvorgekommen und hat was gepostet, während ich noch getippt hab... Aber sind ja leicht verschiedene Ansätze, von dem her, sucht's euch raus...
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