Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon mioweber » 09.12.2009 19:57

Hier mal ein Lösungsvorschlag.
P.S. wieso geistert eig noch das Thema übers Blatt 2 durch die Gegend :D
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon Kazaar » 09.12.2009 21:46

Ich biete alternative, ausführlicher beschriebene Lösungswege zur Aufgabe 3. :)

Bei a) hab ich nicht BAC-CAB benutzt, sondern \tfrac{1}{2}\vec{B}\times\vec{r} und dann die Rotation davon explizit ausgerechnet und komme damit auch auf \vec{B} . Das soll rauskommen, um zu beweisen, dass \vec{A} ein Vektorpotential zu einem konstanten B-Feld ist.

In der b) soll man zeigen, dass man auf \vec{A} bzw. \vec{A'} den Gradienten einer Skalarfunktion addieren muss, um das jeweils andere zu erhalten, also etwa \vec{A'}=\vec{A}+\nabla f . Das stellt man nach dem Gradienten um und setzt die Vektor-Potentiale ein. Um zu zeigen, dass die Differenz wirklich ein Gradient ist, bestimmt man wie mioweber das Potential zum Gradienten oder man zeigt, dass die Rotation des Gradienten verschwindet.


Noch ein bisschen Senf zu Aufgabe 4:

a) Meine Gruppe hat einen wunderschönen, geschlossenen Ausdruck für \vec{j} entwickelt (hat schon etwas gedauert).
Mit \vec{j}=(j_{1},j_{2},j_{3}) kommen wir auf:
\\ j_{1}=\left[\delta\left(x_{2}+\frac{a}{2}\right)-\delta\left(x_{2}-\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\left[\theta\left(x_{1}+\frac{a}{2}\right)-\theta\left(x_{1}-\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\delta(x_{3}) \\ j_{2}=\left[\delta\left(x_{1}-\frac{a}{2}\right)-\delta\left(x_{1}+\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\left[\theta\left(x_{2}+\frac{a}{2}\right)-\theta\left(x_{2}-\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\delta(x_{3}) \\ j_{3}=0

b) Zu miowebers Kommentar: Das Hinweis-Integral hat Uccirati durchaus richtig gemacht, er hat nur die 2 im ln in die Integrationskonstante gezogen.
Das Ergebnis der Integrale sieht bei uns ähnlich aus (und genau so hässlich, denn es wird zur Summe von vier Loagrithmen).
Das B-Feld soll man auch noch irgendwie berechnen, vielleicht am besten über Biot-Savart. Wer Lust hat, kann auch von seinem simplen Vektor-Potential die Rotation bilden. ;)

(Dass Blatt 2 noch lebt, ist mir auch gerade vorhin aufgefallen.)
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon the p0l0x » 09.12.2009 21:56

hi,

@mioweber: ich finde es echt klasse, dass du deine lösungen hier postest. bist vielen anderen eine große hilfe. deshalb ein dickes dankeschön von mir.
woher nimmst du denn immer die zeit das ganze auch noch zu texen?

zu den übungsblättern allgemein: finde es irgendwie schade, dass der lerneffekt ziemlich gegen null geht, meistens muss man nur ewig taylorn oder integrale lösen. bei dem übungsblatt von dieser woche komm ich mir fast wie in ex2 vor :D . hab gehört dass die übungsblätter vom zeppi besser sein sollen, vlt sollten wir die dem uccirati mal zukommen lassen ;) . so nett der mann auch ist, aber die übungsblätter sind echt nicht so der bringer.

viele grüße
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon mabl » 09.12.2009 22:14

mioweber hat geschrieben:P.S. wieso geistert eig noch das Thema übers Blatt 2 durch die Gegend :D

Kazaar hat geschrieben:(Dass Blatt 2 noch lebt, ist mir auch gerade vorhin aufgefallen.)


Oubs, da habe ich wohl etwas geschlafen... Danke euch beiden
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon mioweber » 10.12.2009 09:31

Bitte Bitte ^^
Ehm ja die Ü-Blätter sind wirklich nicht der bringer, deswegen auch die schnellen Lösungen meinerseits

(bitte beachten: bei meiner Lösung das Minus zwischen den Logarithmen und bei den Stromdichten fehlen bei zwei die Minus-Zeichen)

Da würde ich schon soweit gehen, dass ich sage, dass die Ü-Blätter von Theo B zwar verwirrender, aber besser waren.
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon Kazaar » 11.12.2009 00:01

Kazaar hat geschrieben:... Aufgabe 4: ...

b) ... Das B-Feld soll man auch noch irgendwie berechnen, vielleicht am besten über Biot-Savart. Wer Lust hat, kann auch von seinem simplen Vektor-Potential die Rotation bilden. ;) ...

Es ist wohl doch ganz okay, die Rotation des Vektorpotentials zu bilden, und es kommt etwas Ansehnliches raus.

Weil ich gerade die Befürchtung hab, dass sich manche wegen vieler Punkte in der Zulassungsklausur nicht mehr um die Übungsblätter kümmern, rufe ich dazu auf, weiterhin die Blätter zu bearbeiten und hier darüber zu diskutieren. Wir wollen doch was lernen! (Vom Spaß ganz abgesehen.)
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon arminvanbuuren » 11.12.2009 14:03

Kazaar hat geschrieben:Noch ein bisschen Senf zu Aufgabe 4:

a) Meine Gruppe hat einen wunderschönen, geschlossenen Ausdruck für \vec{j} entwickelt (hat schon etwas gedauert).
Mit \vec{j}=(j_{1},j_{2},j_{3}) kommen wir auf:
\\ j_{1}=\left[\delta\left(x_{2}+\frac{a}{2}\right)-\delta\left(x_{2}-\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\left[\theta\left(x_{1}+\frac{a}{2}\right)-\theta\left(x_{1}-\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\delta(x_{3}) \\ j_{2}=\left[\delta\left(x_{1}-\frac{a}{2}\right)-\delta\left(x_{1}+\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\left[\theta\left(x_{2}+\frac{a}{2}\right)-\theta\left(x_{2}-\frac{a}{2}\right)\right]\cdot\delta(x_{3}) \\ j_{3}=0




Die Theta-Fkt braucht ihr nciht. ihr wählt die Integralgrenzen so, dass sowieso nur die Bereiche, in denen ihr euren Draht habt Integriert werden. Dann ist der Kram weg, und ihr habt weniger zu schreiben. Mit Theta-Fkt könnt ihr halt von minus bis plus unendlich integrieren, kriegt aber keine Vorteil dadurch.
delta-fkt sind klar.

und das integral von ucciratis is richtig
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon Kazaar » 11.12.2009 16:31

arminvanbuuren hat geschrieben:Die Theta-Fkt braucht ihr nciht. ihr wählt die Integralgrenzen so, dass sowieso nur die Bereiche, in denen ihr euren Draht habt Integriert werden. Dann ist der Kram weg, und ihr habt weniger zu schreiben. Mit Theta-Fkt könnt ihr halt von minus bis plus unendlich integrieren, kriegt aber keine Vorteil dadurch.
delta-fkt sind klar.

Mit einem ähnlichen Argument kannst du doch auch die \delta -Funktionen wegnehmen. Ich finde die \delta s und \theta s gerade gut, weil man damit für \vec{j} einen geschlossenen Ausdruck angeben kann, der für den gesamten Raum gilt.

Aufgabe 4 b) - Folgender Vorschlag für das Magnetfeld:
Mit A_{3}=0 :
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} -\partial_{3}A_{2}\\ \partial_{3}A_{1}\\ \partial_{1}A_{2}- \partial_{2}A_{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ B_{3}\end{array}\right)
wobei B_{3}=\frac{I}{B}\frac{a}{2}\frac{\mu_{0}}{\pi}\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+z^{2}}}\left(\frac{1}{-\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+z^{2}}}-\frac{1}{\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+z^{2}}}\right)
Dass x- und y-Komponente von B Null sind, hab ich nur per Symmetrie begründet, nicht gerechnet. Außerdem hab ich durch Symmetrie von A begründet, dass \partial_{1}A_{2}=-\partial_{2}A_{1} und dann nur \partial_{1}A_{2} berechnet. Vor dem Ableiten habe ich y = 0 gesetzt und nach dem Ableiten auch x = 0 (das ist jeweils so früh wie möglich). Man muss die Symmetrien in A erkennen, dann läuft das Differenzieren. Ich fand übrigens die Schreibweise von A als Summe von vier Logarithmen am besten abzuleiten.
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon the p0l0x » 12.12.2009 01:02

das mit der symmetrie solltest du nochmal genau überdenken. wenn ich mich nicht verrechnet hab kommt da nicht 0 raus für die 1 und 2 Komponente von A.
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Re: Blatt 7 Aufgaben 3 und 4

Beitragvon CommanderTomalak » 12.12.2009 20:21

mioweber hat geschrieben:Hier mal ein Lösungsvorschlag.
P.S. wieso geistert eig noch das Thema übers Blatt 2 durch die Gegend :D

also wenn ich die Baccab-Regel anwende, kommt bei mir in der zweiten Klammer Nabla und B vertauscht und damit

\nabla \times \vec{A} = \frac{1}{2} \nabla \times \vec{B} \times \vec{r} = \frac{1}{2} \left( \vec{B} \cdot (\nabla \cdot \vec{r}) - (\nabla \cdot \vec{B}) \cdot \vec{r} \right) = \frac{1}{2} \left( 3 \vec{B} - 0 \right) = \frac{3}{2} \vec{B}

raus, da div B laut Maxwell Null ist. Mag mir jemand auf die Sprünge helfen, wo ich hänge?

Wenn ich die Kreuzprodukte explizit ausrechne, häng ich am Ende bei sowas hier:
\left( \frac{1}{2} \nabla \times \vec{B} \times \vec{r} \right)_x = \frac{1}{2} \left( 2 B_x + y \partial_y B_x - x \partial_y B_y \right)

was ich dann auch nicht weiter auflösen kann :(

EDIT: ach ich Trottel, der zweite Ansatz führt natürlich zu was, wenn man annimmt, dass B = const, dann ist \partial B = 0 , dann kommt das Richtige bei raus. Herrlich, manchmal muss man die Formeln nur texen, um weiter zu kommen :D
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