Blatt 2

Untote Übungsblätter

Re: Blatt 2

Beitragvon Rene » 01.11.2009 09:20

rechne dein Ergebnis einfach nochmal aus, und du wirst feststellen, dass das richtige rauskommt.

Gruß
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Re: Blatt 2

Beitragvon blubblub » 01.11.2009 12:05

Zu Aufgabe 3 kann ich diesen Link empfehlen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwellsche_Geschwindigkeitsverteilung#Mittlere_Geschwindigkeit

Im Abschnitt "Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit" steht alles, was man braucht.

Kann mir zwar \sqrt {\overline{v^2}} = \sqrt{\int v^2 \, F(v) \, dv} nicht ganz erklären, aber egal =)

viellt fällt dazu jemandem noch etwas Schlaues ein.

gruß
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Re: Blatt 2

Beitragvon Atomwürmchen » 01.11.2009 13:22

Atomwürmchen hat geschrieben:v^2 über die Gleichverteilung haben wir doch eignetlich in der Vorlesung berechnet oder? Insofern sehe ich das so, als dass man das nur noch mithilfe von Maxwell zeigen muss. Das geht analog zu der Aufgabe 3 auf dem letzten Blatt. f(v) gibt die Wahrscheinlichkeit an (netterweise sogar schon normiert). D.h. es ist der Erwartungswert über alle Geschwindigkeitsquadrate gesucht.

\int_{0}^{\infty}f(v)\cdot v^{2}dv=\frac{3k_{B}T}{m}
Lässt sich z.b. mit Wolframalpha berechnen.


Wie schon gesagt, das Quadrat der mittleren Geschwindigkeit ist gerade der Erwartungswert über alle Geschwindigkeiten.
Was hat sich der Typ gedacht, der den Scheißmicrosoftwordbüroklammerassistenten programmiert hat???
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Re: Blatt 2

Beitragvon CommanderTomalak » 01.11.2009 17:59

Rene hat geschrieben:rechne dein Ergebnis einfach nochmal aus, und du wirst feststellen, dass das richtige rauskommt.

Gruß

Ich Trottel habs falsch in den TR eingehackt, 10^-2 hab ich als 10e-2 eingegeben :roll: okay, die Formel und das Ergebnis stimmen also.
Nur beim zweiten Teil häng ich massiv. Bei dem was ich da zusammen gerechnet hab, kommt ziemlich Müll raus, siehe Anhang (zur dritten Seite weiter scrollen). Mag mir mal einer auf die Sprünge helfen, wo da der Fehler steckt?
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Re: Blatt 2

Beitragvon Cashdogg » 02.11.2009 15:28

Also ich hab die Luftballon-Aufgabe wie folgt gelöst:
1. Aus der Dichteformel (Dichte=P/(R*T)) habe ich den Druck berechnet bei der der Ballon platzt (Dichte=m/V', mit m=konstant =>m aus V0,P0,T0). Das führt auf P=P0/1,2.
2. Diesen Druck in die barometrische Höhenformel eingestzt und nach h aufgelöst.

Könnte vielleicht jemand seine Löusung zur Aufgabe 3 posten. Ich habs jetzt schon mehrfach veruscht, es kommt aber immer Mur misst raus.

Gruß Cashdogg
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Re: Blatt 2

Beitragvon CommanderTomalak » 02.11.2009 18:23

Genau das hab ich ja auch gemacht, aber ich schätze, ich hab mich beim Umformen der Höhenformel vertan. Mein aktuelles Ergebnis deckt sich aber immer noch nicht ganz mit eurem ;)

\\ h = \frac{0,223 \cdot R \cdot T}{M \cdot g} $ \\ =   1,87 \cdot 10^{3}m

EDIT: Nehme alles zurück! Bei mir war 1/1,2 = 4/5 statt 6/5 :oops: Ergebnis passt bei 1534,9m
Zuletzt geändert von CommanderTomalak am 02.11.2009 18:45, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: Blatt 2

Beitragvon mioweber » 02.11.2009 18:34

Hat jemand eine Idee die mittlere quadratische geschwindigkeit aus dem Gleichverteilungssatz herzuleiten?
antworten oder nicht antworten, das ist hier die frage!
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Re: Blatt 2

Beitragvon Shadak » 02.11.2009 22:59

das haben hanna, robert und ich heut nachittag ermittelt...also primär robert, ich hab mich bemüht mitm texen hinter herzukommen (was ein erfolgloses unterfangen war, robert denkt schneller...).
fragt mich nicht was er sich bei der 1 gedacht hat...
der rest sollte halbwegs selbsterklärend sein, wenn nicht sagt es und ich versuche morgen meine lösung ausführlicher zu kommentieren, aber jetzt geh ich ins bett.
ach ja, wie immer keine gewähr für gar nix ^^

Ex III Üb II

Aufgabe 1

m\cdot\ddot{x}&=&-m\cdot\gamma\cdot\dot{x}-Q\cdot E-Dx\\x(t)&=&x_{0}\cdot\exp^{-i\cdot\omega\cdot t}\\\Omega&=&\sqrt{\frac{D}{m}}\\\gamma&\equiv&2\cdot\beta\\m\cdot x_{0}\cdot(-i\cdot\omega)^{2}\cdot\exp^{-i\cdot\omega\cdot t}&=&-x\cdot m\cdot\gamma\cdot(-i\cdot\omega)\cdot\exp^{-i\cdot\omega\cdot t}-Q\cdot E_{0}\cdot\exp^{-i\cdot\omega\cdot t}-D\cdot x_{0}\cdot\exp^{-i\cdot\omega\cdot t}\\\Rightarrow-\omega^{2}&=&i\cdot\gamma\cdot\omega-\frac{Q\cdot E_{0}+D\cdot x_{0}}{m\cdot x_{0}}\\\Rightarrow\omega^{2}+i\cdot\gamma\cdot\omega-\frac{Q\cdot E_{0}+D\cdot x_{0}}{m\cdot x_{0}}&=&0
\omega_{1/2}&=&-\frac{i\cdot\gamma}{2}\pm\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{4}+\frac{Q\cdot E_{0}+D\cdot x_{0}}{m\cdot x_{0}}}\\\Rightarrow x(t)&=&x_{0}\cdot\exp^{-\frac{i\cdot\gamma}{2}+\sqrt{\frac{Q\cdot E_{0}+D\cdot x_{0}}{m\cdot x_{0}}}}\cdot c_{1}+x_{0}\cdot\exp^{-\frac{i\cdot\gamma}{2}+\sqrt{\frac{Q\cdot E_{0}+D\cdot x_{0}}{m\cdot x_{0}}}}\\\Rightarrow x_{0(w)}&=&\frac{Q\cdot E_{0}}{m}\cdot\frac{1}{\Omega^{2}-\omega^{2}+2\cdot\beta\cdot i\cdot\omega}\\P&\equiv&\frac{N}{V}\cdot p\\\frac{N}{V}\cdot p&=&-\frac{N\cdot Q\cdot x_{0}(\omega)}{V}\\&=&-\frac{N\cdot Q}{V}\cdot\frac{Q\cdot E_{0}}{m}\cdot\frac{1}{\Omega^{2}-\omega^{2}+2\cdot\beta\cdot i\cdot\omega}\\&=&\epsilon_{0}\cdot\chi\cdot E_{0}\\\Rightarrow\chi&=&\frac{N\cdot Q^{2}}{V\cdot m\cdot\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\Omega^{2}-\omega^{2}+2\cdot\beta\cdot i\cdot\omega}\\\epsilon(\omega)&=&1-\chi


Aufgabe 2

Damit ein Medium in einen anderen Medium schweben kann müssen die Dichten beider Medien gleich sein. (Archmedisches Prinzip) Wenn die Dichten beider Medien gleich sind, dann wirkt folglich keine Auftriebskraft.

T&=&10\unit{°C}\\p&=&1013\unit{hPa}\\V_{0}&=&10\unit{L}\\&=&\frac{1}{100}\unit{m^{3}}\\m_{Ballon}&=&1\unit{g}\\F_{Auftrieb}&\overset{!}{=}&0\\0&=&(m_{Ballon}+m_{Brief})\cdot g\cdot(-1)+V_{0}\cdot(\rho_{L}-\rho_{He})\cdot g\\\Rightarrow m_{Brief+He}&=&V_{0}\cdot(\rho_{L}-\rho_{He})-m_{Ballon}\\\rho_{L}(10\unit{°C},1013\unit{hPa})&\approx&1.247\frac{kg}{m^{3}}\\\rho_{He}(10\unit{°C},1013\unit{hPa})&=&?\\M_{He}&=&4.0025\frac{g}{mol}\\p\cdot V&=&\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\\&=&\frac{\rho_{He}\cdot V}{M}\cdot R\cdot T\\p&=&\frac{\rho_{He}}{M}\cdot R\cdot T\\\rho_{He}&=&\frac{\rho\cdot M}{R\cdot T}\\&\approx&0.17222\frac{kg}{m^{3}}\\\Rightarrow m_{Brief+He}&=&9.75\unit{g}\\m_{He}&=&V_{He}\cdot\rho_{He}\\&=&1.72\unit{g}\\\Rightarrow m_{Brief}&=&m_{Brief+He}-m_{He}\\&=&8.03\unit{g}

Folglich darf der Brief maximal 8.03g schwer sein.

Nun gilt es zuerrechnen bei welcher Höhe der Ballon platzt, wenn die Hülle eine maximale Volumenzunahme von 20% toleriert. (barometrische Höhenformel)

p\cdot V&=&const.\\\Rightarrow p_{0}&=&\frac{6}{5}\cdot p\\p(h)&=&p_{0}\cdot\exp^{-\Delta h\cdot\frac{M\cdot g}{R\cdot T}}\\\Rightarrow\Delta h&=&-\frac{R\cdot T}{M\cdot g}\cdot\ln(\frac{p(h)}{p_{0}})\\&=&-\frac{R\cdot T}{M\cdot g}\cdot\ln(\frac{5}{6})\\&\approx&1511\unit{m}

Der Gute Ballon kann also maximal 1511 m aufsteigen.

Aufgabe 3

F(v)&=&(\frac{m}{2\cdot\pi\cdot k_{B}\cdot T})^{\frac{3}{2}}\cdot4\cdot\pi\cdot v^{2}\cdot\exp^{-\frac{m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}\\\sqrt{\overline{v^{2}}}&=&\sqrt{\int v^{2}F(v)dv}\\&=&\sqrt{\int v^{4}\cdot\underbrace{4\cdot\pi\cdot(\frac{m}{2\cdot\pi\cdot k_{B}\cdot T})^{-\frac{3}{2}}}_{b}\cdot\exp^{\underbrace{-\frac{m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}_{c\cdot v^{2}}}dv}\\&=&\sqrt{b\cdot\int v^{4}\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}dv}\\&=&\sqrt{b\cdot\frac{3\cdot\sqrt{\pi}}{8\cdot c^{\frac{5}{2}}}}\\&=&\sqrt{4\cdot\pi\cdot(\frac{m}{2\cdot\pi\cdot k_{B}\cdot T})^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{3\cdot\sqrt{\pi}}{8\cdot c^{\frac{5}{2}}}}\\&=&\sqrt{4\cdot\pi\cdot(\frac{m}{2\cdot\pi\cdot k_{B}\cdot T})^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{3\cdot\sqrt{\pi}\cdot(2\cdot k_{B}\cdot T)^{\frac{5}{2}}}{2\cdot m^{\frac{5}{2}}}}\\&=&\sqrt{\frac{1}{2}\frac{3}{m}\cdot2\cdot k_{B}\cdot T}\\&=&\sqrt{\frac{3\cdot k_{B}\cdot T}{m}}\\\sqrt{\overline{v^{2}}}&=&\sqrt{\frac{3\cdot k_{B}\cdot T}{m}}q.e.d.

Da die Geschwindigkeitwn Quadrate sind, lässt sich nicht berechnen, wie weit sich ein Teichen (im Mittel) von einem Punkt entfernt.

\frac{dF(v)}{dv}&=&\frac{d}{dv}(b\cdot v^{2}\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}})\\&=&b\cdot2\cdot v\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}+b\cdot v^{2}\cdot(-c\cdot v)\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\\&=&b\cdot v\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(2-c\cdot v^{2})

--> Extrema bei v=0 und v=\pm\sqrt{\frac{2}{c}}

\frac{d^{2}F(v)}{dv}&=&b\cdot(\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(2-c\cdot v^{2})+v\cdot(2-c\cdot v^{3})\cdot(-c\cdot v)\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}+v\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(-2\cdot c\cdot v))\\&=&b\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(2-c\cdot v^{2}-2\cdot c\cdot v^{2}+c^{2}\cdot v^{4}-2\cdot c\cdot v)\\&=&b\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(2-5\cdot c\cdot v^{2}+c^{2}\cdot v^{4})\\\frac{d^{2}F(v)}{dv}&=&b\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(2-5\cdot c\cdot\frac{2}{c}+c^{2}\cdot\frac{4}{c^{4}})\\&=&b\cdot\exp^{-c\cdot v^{2}}\cdot(2-10+4)<0

--> Maximum bei v=\pm\sqrt{\frac{2}{c}} ist die wahrscheinliche Geschwindigkeit.

edit1: unitfracs entfernt
edit2: das gradzeichen (°)mag der fomelumwandler net...sry
edit3: korrektur aufgabe 2
6171*2^{481145}+1 ist prim
wer hat es gemerkt? ich xD
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