Blatt 6 Aufgabe 1

Untote Übungsblätter

Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon PatrickM » 03.12.2009 22:43

Ok, das ist mal wieder Kampfrechnen pur...

Die i) wär ja noch schnell erledigt, da hab ich folgendes raus:

\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{3(\vec{d}\cdot(\vec{x}-\vec{x'}))\cdot(\vec{x}-\vec{x'})}{\left|\vec{x}-\vec{x'}\right|^{5}}-\frac{\vec{d}}{\left|\vec{x}-\vec{x'}\right|^{3}}\right)

Aber wie soll man jetzt bei der ii) vorgehen ? Also ich kann entweder \vec{E} vorher bis zur ersten Ordnung taylorn, dann müsste ich aber die Jacobi-Matrix bestimmen, was hier aber keinen Sinn macht, weil ich ja gar kein Koordinatensystem vorgegeben hab.
Dann kann ich halt die Hardcore-Strecke durch gefühlte 1000-Taylorreihen und hässliche ewig lange Brüche gehen, dann würde ich am Schluss, wenn ich mich nicht irre, sechs Terme rauskriegen. Soll das wirklich dann das Ergebnis sein ?

Schon jemand Ergebnisse ?
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon mioweber » 03.12.2009 22:59

Jo hab ein Ergebniss, ich habe zufällig was im geliebten Landau-Lifshitz (Klassische Feldtheorie) gefunden xD
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antworten oder nicht antworten, das ist hier die frage!
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon C3POXTC » 04.12.2009 14:14

Also ich hab für die Kraft zwischen den beiden was anderes:
Allgemein gilt für die Kraft auf einen dipol in einem E-Feld(vergl. Nolting 3)
\vec F(\vec r)=\nabla (\vec d \cdot \vec E(\vec r))
Wenn ich da das E aus der i) einsetzte bekomm ich raus:
\vec F(\vec r)=\frac 1{4\pi\epsilon_0}\cdot\left( \frac{\vec d_1 \cdot (\vec d_2 \cdot\vec r)+\vec d_2 \cdot (\vec d_1 \cdot\vec r)+3(\vec d_1 \cdot\vec d_2)\cdot \vec r}{r^5}-\frac{15(\vec d_1 \cdot \vec r)(\vec d_2 \cdot\vec r)}{r^7}\right)

kann mich natürlich auch verrechnet haben.
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon PatrickM » 04.12.2009 18:06

Das hab ich auch, fast zumindest. Hab irgendwie ein umgekehrtes Vorzeichen und den einen Faktor 3 noch drin und hab statt \vec{r} auch die Differenz zwischen den Ortsvektoren.

\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{15\cdot(\vec{d}_{1}(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}))\cdot(\vec{d}_{2}(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}))\cdot(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2})}{\left|\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right|^{7}}-\frac{3\cdot\vec{d}_{2}\cdot(\vec{d}_{1}(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}))+3\cdot\vec{d}_{1}\cdot(\vec{d}_{2}(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}))}{\left|\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right|^{5}}-
\frac{3\cdot(\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{2})\cdot(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2})}{\left|\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right|^{5}}\right)

EDIT: Fiel mir grad noch auf:
Dein letzter Term ist falsch, das ist nämlich nur ein Skalar und kein Vektor, ich nehm an du hast ein \vec{r} im Zähler vergessen
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon mabl » 05.12.2009 19:58

Es ist aber \vec F(\vec r)= {\color{red} +} \nabla (\vec d \cdot \vec E(\vec r)) , und somit drehen sich deine Vorzeichen noch um. Sonst passt das so
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon Norilian » 05.12.2009 23:46

Hi,
Ich hab mal eine leicht zu beantwortende Frage:
Kann man bei der Berechnung des E-Feldes in dem folgenden Schritt (von Mioweber):

\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{3\cdot\vec{r}\cdot\vec{d}\cdot\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|^{5}}-\frac{\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{3}}\right)
nicht \vec{r}^2=|\vec{r}|^2 benutzen und dann beim 1. Term mit dem \vec{r}^5 kürzen, so dass dann nur noch:
\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{3\cdot|\vec{r}|^2\cdot\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{5}}-\frac{\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{3}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{3\cdot\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{3}}-\frac{\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{3}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left\cdot\frac{2\cdot\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{3}}=\frac{1}{2\pi\epsilon_{0}}\left\cdot\frac{\vec{d}}{\left|\vec{r}\right|^{3}}
dasteht und dann damit weitterrechnen? Oder hat das einen Sinn das nicht zu kürzen (wie zum Beispiel, dass es falsch wird oder dass man nach dem Kürzen bei der Energie (oder der Kraft) wichtige Erkenntnisse anhand der Darstellung der Gleichung verliert?)
mfg Norilian
PS: Danke schonmal im Vorraus für alle Antworten!
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon the p0l0x » 06.12.2009 01:27

@ Norilian: Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ. Eigentlich müssten hier Klammern stehn.
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon Norilian » 06.12.2009 11:06

Stimmt. Jetzt wo du es sagst ist es logisch (und das erklärt auch warum Mioweber da Klammern gesetzt hat). Damit hat sich die Frage auch schon erledigt.
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Re: Blatt 6 Aufgabe 1

Beitragvon PatrickM » 06.12.2009 13:51

Die Beträge könnte man dennoch rauskürzen, dann blieben halt noch Einheitsvektoren oben stehen.
@mabl: Mhpf hast recht, dann muss ich meine Lösung nochmal durchkorrigieren... lag bei mir daran, dass ich das Dipolmoment von Plus nach Minus definiert habe, die Norm ist aber andersrum.
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