Blatt 1 - Aufgabe 2

Untote Übungsblätter

Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon mabl » 22.10.2009 15:03

Auch hier haben Miriam und ich etwas gerechnet, aber für einen Punkt sowas?!

M&=\begin{pmatrix}0 & x_{3} & -x_{2}\\-x_{3} & 0 & x_{1}\\x_{2} & -x_{1} & 0\end{pmatrix}\\\Rightarrow M_{ij}&=\varepsilon_{ijn}x_{n}\\\Rightarrow\left(M\left(\vec{x}\right)\vec{v}\right)_{i}&=\sum_{j}M_{ij}v_{j}\\&=\sum_{j,n}\varepsilon_{ijn}x_{n}v_{j}\\&=\sum_{j,n}\varepsilon_{jni}v_{j}x_{n}\\&=\left(\vec{v}\times\vec{x}\right)_{i}

x'_{n}&=D_{np}x_{p}\\&\\&\\M\left(\vec{x}_{n}^{'}\right)&=\left(DM\left(\vec{x}\right)D^{\mathrm{T}}\right)_{ij}\\\Leftrightarrow\sum_{n}\varepsilon_{ijn}x_{n}^{'}&=\sum_{m,k}D_{im}M_{mk}\left(\vec{x}\right)D_{kj}^{\mathrm{T}}\\\Leftrightarrow\sum_{n,p}\varepsilon_{ijn}D_{np}x_{p}&=\sum_{m,k,p}D_{im}\varepsilon_{mkp}x_{p}D_{kj}^{\mathrm{T}}\\\Leftrightarrow\sum_{p}x_{p}\left(\sum_{n}\varepsilon_{ijn}D_{pn}^{\mathrm{T}}\right)&=\sum_{p}x_{p}\left(\sum_{m,k}D_{mi}^{T}\varepsilon_{mkp}D_{kj}^{\mathrm{T}}\right)

Durch Gleichheit der Klammern duch die Identität (siehe Theo B SS09, Übungsblatt 11) \sum_{n}\varepsilon_{ijn}D_{pn}=\sum_{m,k}D_{mi}\varepsilon_{mkp}D_{kj} folgt die Wahrheit der Aussage.
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon AndiWi » 22.10.2009 17:03

:D also meiner meinung nach genügt es das M' in komponenten als summe zu schreiben und D(transponiert) umzudrehen. dann steht nämlich die definition einer transformatione eines tensors da und fertig ist man. die beziehung die ihr am schluß benutzt ist aus dieser definituion abgeleitet. gruß
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon Cashdogg » 23.10.2009 15:41

@mabl

Was ich mich schon bei Aufgaben vom Lang bei dieser Komponentendarstellung gefragt hab, ist warum (bei dir zwischen Zeile 4 und 5) die Indizes im Epsilonsymbol und die Reihenfolge von x und v vertauscht werden.
Hoffe du kannst mir da mit einer kurzen Stütze weiterhelfen.

Gruß Cashdogg
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon laxamyri » 23.10.2009 15:47

für den dritten teil hab ich einmal alpha*pi^2-2*gamma und alpha*a^2+beta*a*b+gamma*c. sorry für die darstellung
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon Rene » 23.10.2009 16:00

@cashdogg:
Das kann man dank der Identität von Epsilon als total antisymetrischer Tensor machen: \epsilon_{ijk} = \epsilon_{jki} = \epsilon_{kij}
Das ist wiederum aus Theo A bekannt.


Desweiteren werden die Indizies von x und v ja nicht vertauscht, sondern nur deren Position in dem Produkt, was in dem Fall egal ist.
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon Cashdogg » 23.10.2009 16:08

@Rene

Ja aber dann wäre ja r x v=v x r, oder?

Gruß Cashdogg
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon Cashdogg » 23.10.2009 16:10

Achso nee die Position im Kreuzprodukt wird ja durch die Indizes im Epsilonsymbol bestimmt.

Danke trotzdem.
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon Cashdogg » 23.10.2009 17:05

Kann jemand bei der iii) folgende Ergebnisse bestätigen:

Weg 1: alpha*(pi)²-2gamma

Weg 2: alpha*a+beta*a*b+gamma*c

Gruß Cashdogg
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon Hendrik » 23.10.2009 17:20

@cashdogg: hab beim zweiten Weg alpha*a^2, ansonsten das gleiche wie du.

Falls hier irgendwer schon das Theo-Blatt fertig hat: Auf der Homepage gibt es schon das zweite, damit auch keine Langeweile aufkommt. Leider fehlt aber noch die Tutorieneinteilung...
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Re: Blatt 1 - Aufgabe 2

Beitragvon squirrl13 » 23.10.2009 17:46

@mabl

woher kommt denn in der 4. Zeile die Summation über n?
Kann mir das im moment irgendwie nicht erklären.
Zuletzt geändert von squirrl13 am 23.10.2009 19:21, insgesamt 1-mal geändert.
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