Blatt 8

Re: Blatt 8

Beitragvon koke » 06.06.2010 11:19

Schreibt euch doch einfach mal für eine allgemeine Matrix A auf, was die Spur von A^2 ist. Es treten nur Quadrate auf und somit ist sofort klar, dass die Spur nur 0 ist, wenn die Matrix A die Nullmatrix war.
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Re: Blatt 8

Beitragvon Lars1991 » 06.06.2010 11:33

also irgendwas mach ich dann wohl falsch^^

ich bekomme da eben nicht nur quadrate raus... wenn ich A*A berechne und dann eben die Spur(A^2) dann bekomme ich da raus:

Spur(A^2)=a_11^2 + a_22^2 +2a_21*a_12... was mach ich nur falsch?^^
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Re: Blatt 8

Beitragvon bina » 06.06.2010 11:41

Was ichbisher hab:
A20:
zum Skalarprodukt : Linear, symmetrisch, pos. def. zeigen
linear und symmetrisch geht ueber die Linearitaet und Symmetrie der Spur (Sp(AB)=Sp(BA), Sp(A(B+C)) = Sp((AB)+(AC))=Sp(AB)+Sp(AC))
Zeigen kann man das ueber die Matrixelemente, zB.:
(AB)_{ij} = (BA)_{ji} oder(A(B+C))_{ij} = (AB+AC)_{ji} = (AB)_{ij} + (AC)_{ji} .
Bei pos def haeng ich selbst.


mit den Matrixelementen H_{11}, H_{12}, H_{21}, H{22} ist
c_0=1/2(H_{11} + H{22} , c_1=1/2(H_{12} + H{12} , c_2=i/2(H_{12} - H{21} , c_3=1/2(H_{11} - H{22} .


H hab ich als (c_0 - \lambda) E + ... gechrieben, mit A = (c_0 - \lambda) E \quad, \quad B=c_1\sigma_1 entsprechend C und D. Daraus wird det (H-\lambda E = 1/2\left[(Sp(A+B+C+D))^2 - Sp((A+B+C+D)^2)\right] .
Da fliegt das meiste raus, weil zb BC+CB = 0, da \sigma_i \sigma_j+\sigma_j \sigma_i =0 und Sp(\sigma_i)=0 .

übrig bleibt: (SpA)^2 - Sp(A^2) - Sp(B^2) - Sp(C^2) - Sp(D^2) .
EW sind c_0 \pm sqrt(-\sum_1^3 c_i)


bei d ist H offensichtlich \vec{c} \vec{\sigma} , also c0=0 und EW \pm |\vec{c}| .
Weiter komm ich nicht, ich komm immer auf u_1=u_1 ...

Fuer A21 fehlt mir leider der Scanner, aber die Basis ist (mit Tensorprodukt := ox) zb ueber
\vec{v}ox\vec{v'}= \sum_1^N a_ib_i ox \sum_1^D a_j' b_j' = \sum_{ij=1}^{N,D} a_i a_i' b_i ox b_i'
Also ist die Basis b_i ox b_i' . Da es N mal D Kombinationen von b_i mit b_j' gibt ist die Dimension N mal D.

Beim Kommutator muss man den auf (\vec{v}ox\vec{v'}) anwenden und dann mit den gegebenen Formeln 4 und 5 hin- und herrechnen.

ONB: anschauen von <b_i ox b_l' |b_i ox b_l'> = <b_i ox b_i> <b_l' ox b_l'> = \delta_{ij}= \cdot 1 . Das gleiche mit erster Komponente fest fuehrt zu Normierung und Orthogonalitaet.
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Re: Blatt 8

Beitragvon bina » 06.06.2010 11:46

Koennte irgendjemand seinen Loesungsweg zu A20 d posten? Das waere sehr nett, ich bekomme immer nur u_1 = u_1 raus...
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Re: Blatt 8

Beitragvon Lars1991 » 06.06.2010 11:59

also im cohen-tanouhdji ist das ab seite 377 aufgeführt. das sieht auch ein wenig simpler aus, als das was ihr da habt :P notfalls lad ich das später mal hoch

@koke: ich glaub ich habs, da es sich hier um eine hermitesche matrix handelt sind ja a_12=a_21* und dann bekomme ich eben zwei mal das betragsquadrat oder?
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Re: Blatt 8

Beitragvon koke » 06.06.2010 12:03

Lars1991 hat geschrieben:also irgendwas mach ich dann wohl falsch^^

ich bekomme da eben nicht nur quadrate raus... wenn ich A*A berechne und dann eben die Spur(A^2) dann bekomme ich da raus:

Spur(A^2)=a_11^2 + a_22^2 +2a_21*a_12... was mach ich nur falsch?^^


Ist doch wunderbar :) Jetzt noch ausnutzen, dass A hermitesch ist, also a_12=a_21* und schon stehen Quadrate da!
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Re: Blatt 8

Beitragvon Lars1991 » 06.06.2010 12:09

siehe meinen post vorher ;) aber vielen dank :) hast mich damit nochmal richtig zum überlegen gebracht und dann hats geklappt :P
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Re: Blatt 8

Beitragvon miriam » 06.06.2010 14:53

bina hat geschrieben:H hab ich als (c_0 - \lambda) E + ... gechrieben, mit A = (c_0 - \lambda) E \quad, \quad B=c_1\sigma_1 entsprechend C und D. Daraus wird det (H-\lambda E = 1/2\left[(Sp(A+B+C+D))^2 - Sp((A+B+C+D)^2)\right] .
Da fliegt das meiste raus, weil zb BC+CB = 0, da \sigma_i \sigma_j+\sigma_j \sigma_i =0 und Sp(\sigma_i)=0 .

übrig bleibt: (SpA)^2 - Sp(A^2) - Sp(B^2) - Sp(C^2) - Sp(D^2) .
EW sind c_0 \pm sqrt(-\sum_1^3 c_i)



dem was du zur a) geschrieben hast kann ich nur zustimmen. auch die koeffizienten c_i habe ich gleich

bei der c) also bei den eigenwerten komm ich auf einkleinwenig anderes. des was übrigbleibt hab ich noch gleich, wobei ich des alles einzeln ausgerechnet hab und ncith mit A, B ... ersetzt. aber ist nur umständlich^^
also (SpA)^2 - Sp(A^2) - Sp(B^2) - Sp(C^2) - Sp(D^2) \overset{!}{=}0 stimmt noch
es ist ja B^2=(c_1\sigma_1)^2
folglich Sp(B^2)=2\cdot c_1^2  ...
am ende (c_0-\lambda)^2-c_1^2-c_2^2-c_3^2 \overset{!}{=}0
für die eigenwerte erhalte ich dann: \lambda_{1/2}=c_0\pm\sqrt{\sum_{i=1}^{3}{c_i^2}}
wenn ich nun die c_i einsetzte erhalte ich die gleichen eigenwerte wie im cohen-tan auf seite 382
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Re: Blatt 8

Beitragvon CommanderTomalak » 06.06.2010 15:52

Irgendwie steh ich bei der d) volles Rohr aufm Schlauch...
laut Aufgabe ist doch
\vec{c} \cdot \vec{\sigma} = |\vec{c}| \cdot \left( \sin \theta \cos \Phi \sigma_1 + \sin \theta \sin \Phi \sigma_2 + \cos \theta \sigma_3 \right)

und wenn ich nicht total behämmert bin, ist das gleich

|\vec{c}| \cdot \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \cos \Phi - i \sin \theta \sin \Phi \\ \sin \theta \cos \Phi + i \sin \theta \sin \Phi & -\cos \theta \end{pmatrix}

Mit den EW \pm |\vec{c}| müsste man doch so auf die Eigenvektoren kommen:

\begin{pmatrix} \cos \theta - |\vec{c}| & \sin \theta \cos \Phi - i \sin \theta \sin \Phi \\ \sin \theta \cos \Phi + i \sin \theta \sin \Phi & -\cos \theta - |\vec{c}| \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = 0

da komm ich aber nach langem Rumrechnen nur auf \psi_2 \cdot (|\vec{c}|^2 - 1) = 0 \Rightarrow \vec{\psi} = 0 :?
hab ich mich da unterwegs verrechnet oder ist schon mein Ansatz falsch?

EDIT: Also ich hab damit jetzt einfach mal weiter gerechnet und behauptet, dass |c| = +/- 1 sein muss, damit ich heut mit dem Blatt noch fertig werd :D damit kommt interessanterweise sogar das richtige Ergebnis raus. Ganz geheuer ist mir das aber nicht o0
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Re: Blatt 8

Beitragvon phys » 06.06.2010 16:40

Das c steht ja auch vor der Matrix. EW sind ja +-1
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