Blatt 9

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Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 10:30

So fangen wir mal an :P Also zur 1a) hätte ich schonmal einen Vorschlag:

\vec{r}\rightarrow -\vec{r}   \Rightarrow (r,\Theta,\varphi )\rightarrow (r,\pi -\Theta, \pi + \varphi)

Y_{lm}(\Theta,\varphi)\rightarrow Y_{lm}(\pi-\Theta,\pi+\varphi)

Y_{lm}(\Theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot N_{lm}\cdot P_{lm}(cos\Theta)e^{im\varphi}

mit N_{lm}=\sqrt{\frac{2l+1}{2} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} und P_{lm}=\frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!}\cdot (1-cos^2(\Theta))^{m/2}\cdot \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}\cdot (cos^2(\Theta)-1)^l

N_lm ändert sich mit der Umformung nicht, ist ja nur ein Noermierungsfaktor. Bei P_lm ändert sich der cosinus von +cos nach -cos, da das ganze aber im Quadrat vorkommt ändert sich auch hier nichts.

Nur e^{im\varphi}\rightarrow e^{im\pi + im\varphi}=e^{im\pi}\cdot e^{im\varphi}=(-1)^m \cdot e^{im\varphi} weist eine Änderung auf, gerade um den gesuchten Faktor. Hier steht jetzt aber ein m im Exponenten und nicht das l das wir eigentlich wollten. Ich denke mal, dass liegt daran, dass -l=<m=<l ist und (-1)^-l=(-1)^l gilt und deshalb das m einfach durch l ersetzt wird... das wäre zumindest mein Vorschlag :P Einwände?
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Re: Blatt 9

Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 10:55

Hat jemand bei der b ne Idee was genau die mit Nulllinien meinen? Die entsprechenden Funktionen bekommt man z.B. auf Wikipedia:
[url]http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelflächenfunktionen[/url] und dann eben den Realteil bilden.

Einheitskugel heißt ja soweit ich weiss das r=1 gilt. Soll ich jetzt einfach schauen für welche Teta und Phi die Funktionen Null werden?! Aber wie ergibt sich daraus eine LINIE?! steh da ein wenig aufm Schlauch...
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Re: Blatt 9

Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 10:59

Oder ist damit gemeint ich nehme z.B.:
Re\left \{ Y_{22} \right \} =\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\cdot sin(\Theta)cos(\Theta)cos(\varphi)

was für Teta=π/2 verschwindet (wegen des Cosinus) und jetzt lasse ich Phi von 0-2π laufen und bekäme auf meiner Einheitskugel einen Kreis um den "Äquator"?
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Re: Blatt 9

Beitragvon M.A. » 12.06.2010 15:10

Lars1991 hat geschrieben: Bei P_lm ändert sich der cosinus von +cos nach -cos, da das ganze aber im Quadrat vorkommt ändert sich auch hier nichts.
Falsch. Was ist denn dein x in der Ableitung? Da muss auch der Kosinus stehen, und da ist kein Quadrat in Sicht, also erhälst du daraus einen Faktor \frac{1}{(-1)^{l+m}} . Damit kürzt du dann dein (-1)^m aus dem Phi Term und hast nur noch den (-1)^l -Term übrig.
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Re: Blatt 9

Beitragvon squirrl13 » 12.06.2010 15:19

Hi,
Lars1991 hat geschrieben:Oder ist damit gemeint ich nehme z.B.:
Re\left \{ Y_{22} \right \} =\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\cdot sin(\Theta)cos(\Theta)cos(\varphi)

was für Teta=π/2 verschwindet (wegen des Cosinus) und jetzt lasse ich Phi von 0-2π laufen und bekäme auf meiner Einheitskugel einen Kreis um den "Äquator"?


Ja ich glaub da ist genau das gemeint. Das sollte dann wohl so ähnlich aussehn wie hier:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Harmoniques_spheriques_positif_negatif.png&filetimestamp=20041221114021
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Re: Blatt 9

Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 15:34

@MA:
ja das x ist einfach nur eine abkürzung, die oft in der literatur verwendet wird, hab das dann beim texen wohl vergessen umzuändern :P aber hast recht, ich hab da das x (bzw den cosinus) in der ableitung vergessen. danke :)
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Re: Blatt 9

Beitragvon squirrl13 » 12.06.2010 16:14

Wie funktioniert denn die 22 b) ?
Ich hab keien Ahnung wie ich da rangehn soll.
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Re: Blatt 9

Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 16:26

So zur c hätte ich dann auch mal einen Vorschlag:

Wir haben folgende Wellenfkt (in Kugelkoordinaten ausgedrückt):

\Psi (r,\Theta,\varphi)=c\cdot r\cdot (sin\Theta cos\varphi + sin\Theta cos\varphi)e^{-r}

Das lässt sich separieren zu:

\Psi (r,\Theta,\varphi)=R(r)\cdot (sin\Theta cos\varphi + sin\Theta cos\varphi)

Die Sinus-Cosinus-Terme ersetzt man nun durch Kugelflächenfunktionen:

\Psi (r,\Theta,\varphi)=R(r)\cdot\left [ ( \sqrt{\frac{\pi}{6}}-i\sqrt{\frac{2\pi}{3}} ) Y_{1,-1}-(\sqrt{\frac{\pi}{6}}+i\sqrt{\frac{2\pi}{3}})Y_{1,1} \right ]

WIr haben jetzt also eine Wellenfkt folgender Form:

\Psi (r,\Theta,\varphi)=\sum_{l} \sum_{m} a_{l,m}(r) Y_{l}^{m}(\Theta,\varphi)

Und nun gilt für die Wahrscheinlichkeit der z-Komponente:

P_{L_z}(m)=\sum_{l\geq m}\int_{0}^{\infty }r^2 dr |a_{l,m}(r)|^2

Also müsste die Wahrscheinlichkeit für m=0 auch Null sein, da a_l,0 = 0 ist (also nicht vorhanden). Jetzt muss man eben für m= 1 und m=-1 P berechnen.

Also

P_{L_z}(1)=\int_{0}^{\infty }r^2 dr |a_{1,1}(r)|^2

und

P_{L_z}(-1)=\int_{0}^{\infty }r^2 dr |a_{1,-1}(r)|^2

Das jetzt explizit zu berechnen dürfte nicht schwer sein, a_l,m sind ja gerade die Vorfaktoren vor den Y_l,m's mal R(r)
Zuletzt geändert von Lars1991 am 12.06.2010 16:38, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Blatt 9

Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 16:34

@squirrl13

Das ist garnicht so schwer, wenn man mal verstanden hat was gefragt ist^^ Du schreibst dir jetzt einfach von wikipedia alles Y_l,m's mit l=0,1,2 raus (also -l=<m=<l) und bildest den Realteil (da kommt bei einigen eben ein cosphi als Faktor mit rein). Dann schaust du dir die einzeln an, für welche Winkel die Null werden. z.B

Re{Y_2,-1}=\sqrt{\frac{15}{8\pi}} sin\Theta cos\Theta cos\varphi

Und jetzt stellt du dir die Einheitskugel vor, also eine Kugel mit Radius r=1. Deine Fkt wird Null für Teta=π (wegen des sinus), das wäre dann bei der einheitskugel ein Vektor in -z-Richtung, wenn du jetzt phi von 0-2π gehen lässt passiert ja sozusagen nix. Da du noch den cosinus drin hast verschwindet auch für Teta=π/2 deine Fkt. Auf der Einheitskugel bedeutet das jetzt ein vektor in der x-y-Ebene, wenn phi jez von 0-2π geht dann dreht der sich einmal um die Kugel und hinterlässt sozusagen einen Kreis um den Äquator der Kugel. Dann wird dir Fkt auch Null für phi=π/2 dann schaust du dir an wie das auf der Kugel aussieht und Teta läuft von 0-π dann bekommt du sonen Halbkreis über die Kugel.

einigermaßen verständlich erklärt?! :P
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Re: Blatt 9

Beitragvon Lars1991 » 12.06.2010 16:43

zur c) noch etwas:

das c ist ja eine Normierungskontante, also muss
\int_{0}^{\infty}r^2 f^{*}(r) \cdot f(r) dr =1 gelten. Ich hab dann für |c|=\frac{2}{\sqrt{3}} , kann aber sein das ich da einen Fehler gemacht habe, hab das ziemlich schlampig im Schnelldurchgang gerechnet :P
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