Physik - Uni Karlsruhe

von **CommanderTomalak** » 19.06.2010 15:02

super, ich häng gleich an der 25a ewig fest. Wie kommt ihr denn bitte von

$(\dot{\vec{r}}\nabla) \vec{A}+ (\vec{A}\nabla) \dot{\vec{r}} + \dot{\vec{r}} \times ( \underbrace{ \nabla \times \vec{A}}_{\vec{B}}) + \vec{A} \times ( \nabla \times \dot{\vec{r}}) \underbrace{- \nabla \phi}_{\vec{E}} - \dot{\vec{A}}$
$= \vec{E} + \dot{\vec{r}} \times \vec{B} + (\vec{r}}\nabla) \vec{A}+ (\vec{A}\nabla) \dot{\vec{r}} + \vec{A} \times ( \nabla \times \dot{\vec{r}}) - \dot{\vec{A}}$

$\Rightarrow (\vec{r}}\nabla) \vec{A}+ (\vec{A}\nabla) \dot{\vec{r}} + \vec{A} \times ( \nabla \times \dot{\vec{r}}) - \dot{\vec{A}} \stackrel{!}{=} 0$

mit
$\vec{A} \times ( \nabla \times \dot{\vec{r}}) = \nabla_{\dot{r}} (\vec{A} \dot{\vec{r}}) - (\vec{A} \nabla) \dot{\vec{r}}$

wird daraus:
$\Rightarrow (\vec{r}}\nabla) \vec{A}+ \nabla_{\dot{r}} (\vec{A} \dot{\vec{r}}) - \dot{\vec{A}} \stackrel{!}{=} 0$

und da komm ich nich weiter

von **Lars1991** » 19.06.2010 15:13

also erster fehler bei dir ist das dA/dt, das gehört mit zum E-feld

von **CommanderTomalak** » 19.06.2010 15:21

Aua, das tut ja schon weh. Gut, aber der Rest ist immer noch ungeklärt

$(\dot{\vec{r}}\nabla) \vec{A} + \nabla_{\dot{r}} (\vec{A} \dot{\vec{r}}) = 0 \, \mathrm{?}$

von **CommanderTomalak** » 19.06.2010 17:56

Lars1991 hat geschrieben:und dein L_z stimmt glaub ich auch nicht... zumindest wenn ich das mal ausrechne käme da:
$i\cdot a_x^\dagger\cdot a_y + i\cdot a_y^\dagger \cdot a_x$
raus...

rechne das mal wieder zurück, da kommt Käse raus

miowebers Version stimmt schon

von **Lars1991** » 19.06.2010 18:32

ok, hab mich da irgendwo verrechnet

von **CommanderTomalak** » 19.06.2010 20:58

Blubb, die Formel, die in Aufg 27 vorkommt, hab ich irgendwie in der Vorlesung verpasst (war in ein paar nicht drin^^). Mag mir jemand erklären, was R_D überhaupt ist und was diese Formel aussagt? Im Idealfall wüsst ich auch gerne, wo im Cohen-Tannoudji was dazu drin steht

von **Lars1991** » 19.06.2010 23:06

also R_D ist lediglich ein Drehoperator

war wie du auch selten in der VL^^ also das ganze befindet sich auf S.640 im cohen

is auch nich sonderlich viel, ein formelteil steht noch ne seite davor

von **CommanderTomalak** » 20.06.2010 14:17

gnarf, dann hier mal ein paar Ideen:
ne generelle Koordinatendrehung is ja
$\mathcal{R}_{e_z} \vec{r} = \begin{pmatrix} x \cos \phi + y \sin \phi \\ -x \sin \phi + y \cos \phi \\ z \end{pmatrix}$

die Wirkung auf die Wellenfunktion ist
$\langle \vec{r} \mid R \mid \psi \rangle = \langle \mathcal{R}^{-1} \vec{r} \mid \psi \rangle$

mit $\mathcal{R}_{e_z}^{-1}(\phi) \vec{r} = \mathcal{R}_{-e_z}(\phi) \vec{r}$

irgendwie sollte da aber (zumindest laut Cohen) folgendes stehen:
$\mathcal{R}_{-e_z}(\phi) \vec{r} = \begin{pmatrix} x + y \mathrm{d}\phi \\ y - x \mathrm{d}\phi \\ z \end{pmatrix}$

wie kommt der da drauf? Naja, weiter gehts: die Wellenfunktion ist dann

$\psi' (x, y, z) = \psi(x + y \mathrm{d}\phi, y - x\mathrm{d}\phi, z)$

Die Taylorentwicklung davon ist
$\psi'(x, y, z) = \psi(x, y, z) + \mathrm{d}\phi \left( y \frac{\partial \psi}{\partial x} - x \frac{\partial \psi}{\partial y} \right)$
$= \psi(x, y, z) - \mathrm{d}\phi\left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right)\psi(x, y, z)$

und das in der Klammer ist dann $L_z$ in der Ortsdarstellung, sodass gilt
$\langle \vec{r} \mid \psi' \rangle = \langle \vec{r} \mid \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \mathrm{d}\phi L_z \right) \mid \psi \rangle$

wodurch wir schreiben können:
$\mid \psi' \rangle = R_{e_z}(\mathrm{d}\phi) \mid \psi \rangle$
$\Rightarrow R_{e_z} = 1 - \frac{i}{\hbar} \mathrm{d}\phi L_z$

also, wenn mir jetzt einer erklären kann, wie man auf den gedrehten Vektor da oben kommt, ist die 27 auch in der Tasche^^

von **Lars1991** » 20.06.2010 15:06

also das was du da hast sieht sehr gut aus, is doch super, wenn du jetzt infinitisimal drehungen annimmst, dann wird der cosinus zu 1 und der sinus zu dphi

von **CommanderTomalak** » 20.06.2010 15:13

sowas in der Art hab ich mir schon gedacht, aber das sah mir zu einfach aus^^

Physik - Uni Karlsruhe

Blatt 10 Aufgabe 25

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