Physik - Uni Karlsruhe

von **the p0l0x** » 01.11.2010 15:49

zur 5: die a geht leicht mit Golan2781s link. alle ableitungen ab der (incl.) 2ten fallen weg. taylorn und bei x = 1 betrachten. bei der b geht es viel schneller wenn man $e^{xA} e^{xB}$ als funktion einmal ableitet. mit der formel aus teil a) bekommt man eine dgl. die lösung und unsere ausgangsfunktion müssen gleich sein. bei stelle x = 1 finden wir wieder die zu beweisende gleichung.

was ich mich allerdings frage ist: was passiert wenn unser A oder B von x abhängen, oder nach x ableiten, da das im aufgabentext nicht ausgeschlossen ist.

zur 7: muss nicht $[G_x,G_y] = -i G_z$ und zyklisch gelten?

von **Golan2781** » 01.11.2010 15:58

the p0l0x hat geschrieben:was ich mich allerdings frage ist: was passiert wenn unser A oder B von x abhängen, oder nach x ableiten, da das im aufgabentext nicht ausgeschlossen ist.

x ist eine absolut beliebige Variable, nicht die Ortsvariable - egal, wovon A und B abhängig sind, du kannst immer irgend eine andere Variable finden, wovon sie nicht abhängig sind. Die nennst du dann einfach x (oder nennst deine Rechenvariable einfach gleich anders).
Andernfalls könntest du ja auch nicht einfach x=1 setzen.

zur 7:
Die Drehimpulsalgebra folgt der Relation
$[J_i,J_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} J_k$
Daraus folgt aber auch für einen Operator $K_j=c \cdot J_j$ die Relation
$[K_i,K_j]=c^2[J_i,J_j]= \underbrace{c i \hbar}_{c'} \epsilon_{ijk} ( c \cdot J_k)= c' \epsilon_{ijk} K_k$
Da $c$ beliebig ist, ist auch $c'$ beliebig. Von demher reicht es, wenn die Matrizen die Relation
$[G_i,G_j]=c \epsilon_{ijk} G_k$
erfüllen.
Bei der Aufgabe hier ist $c=i$ .

von **PhoeniX** » 03.11.2010 07:36

Ich glaub da ist ein Fehler: Wir wandeln P^n einfach in pj um, da kann was nicht ganz stimmen (vgl. Potenz eines Vektors, P ist ein Vektoroperator.)

-----------
ORIGINAL:
Damit gilt jetzt für den Kommutator:
$[x_i,G]\stackrel{(III)}{=}[x_i,G=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \left. \frac{\partial ^n G}{\partial p ^n} \right | _{p=0} p^n]=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left. \frac{\partial ^n G}{\partial p ^n} \right | _{p=0}[x_i,p_j^n]$
$\stackrel{(II)}{=} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{\partial ^n G}{\partial p _j^n} \frac{\partial p_j^n}{\partial p_j}i\hbar \delta_{ij} \stackrel{(IV)}{=} i \hbar \frac{\partial G}{\partial p _i}$ [/quote]
--------------

mfg
PhoeniX

von **blubblub** » 03.11.2010 09:49

@PhoeniX,
dazu habe ich gestern den Gieseke im Tut befragt. Du kannst ja deinen Kommutator $[x_i,\vec{p}^n]$ wie bereits beschrieben umschreiben zu (...) $[x_i,\vec{p}]$ . Für jede Komponente von p ergibt sich dann eine Gleichung, wovon 2 eben Null sind durch den verschwindenden Kommutator. Nur bei der Gleichung mit der i-ten Komponente von p ist der Kommutator $i\hbar$ . Mit der Gleichung rechnest du dann weiter.
lg

von **Waldfee** » 03.11.2010 10:18

Hat jemand irgendeine Idee zur Aufgabe 8?

Mein Ansatz war bisher, dass die Diagonalmatrizen die gleichen sind, da l und G unitär äuqivalent sind. Dann komme ich auf:

$D_{G}=D_{l}$

$S^{-1}_{G}G_{i}S_{G}=S^{-1}_{l}l_{i}S_{l}$

$S_{l}S^{-1}_{G}G_{i}S_{G}S^{-1}_{l}=l_{i}$

$U^{+}G_{i}U=l_{i}$

Jetzt lässt sich U auch wunderbar berechnen, da man dazu ja nur die EV von G und l braucht. Allerdings bekomme ich dann drei unterschiedliche U's, da ich für jede Transformation G_i zu l_i eine andere Matrix brauche. Jetzt habe ich meinen Tutor gefragt und der hat gemeint, dass die Matrizen mit einem Phasenfaktor zusammenhängen. Das bringt mich momentan aber nicht weiter.

EDIT:
Okay ich habe mittlerweile die Lösung:

$\begin{pmatrix} \frac{i}{\sqrt 2} & 0 & \frac{-i}{\sqrt 2} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt 2} \\ 0 & -i & 0 \end{pmatrix}$

Ich hatte nicht beachtet, dass l_z bereits Diagonalform hat und habe die EV von G in der unitären Matrix falsch angeordnet.

von **Golan2781** » 03.11.2010 14:30

PhoeniX hat geschrieben:Ich glaub da ist ein Fehler: Wir wandeln P^n einfach in pj um, da kann was nicht ganz stimmen (vgl. Potenz eines Vektors, P ist ein Vektoroperator.)

Entschuldige, habe mir leider angewöhnt die Vektorpfeile bei Operatoren wegzulassen, wenn ihr Vektorcharakter egal ist. $p$ steht für $\vec{p}$ . Die Komponenten von $\vec{p}$ sind beim Potenzieren zueinander unabhängig, also kannst du statt $\vec{p}^n$ auch die Komponenten $p_i^n$ betrachten.

Beachte, dass
$\frac{\partial ^n G}{\partial p ^n} \text{ und } p^n$
beides Vektoren sind! Nach Summenkonvention kann man also auch schreiben:
$\begin{align*}\left. \frac{\partial ^n G}{\partial p ^n} \right | _{p=0} p^n &= \sum \limits_{j,k} \left. \frac{\partial ^n G}{\partial p_j ^n} \right | _{p_j=0} \hat{e}_j \cdot p_k^n \hat{e}_k \\ &= \sum \limits_{j,k} \left. \frac{\partial ^n G}{\partial p_j ^n} \right | _{p_j=0} p_k^n \underbrace{\hat{e}_j \cdot \hat{e}_k}_{\delta_{jk}} = \underline{\underline{\left. \frac{\partial ^n G}{\partial p_j ^n} \right | _{p_j=0} p_j^n}} \end{align}$
Das gilt auch, wenn G selbst ein Vektor(operator) ist!

Hab mal den einen fehlenden j-Index vorne reineditiert. Danke für den Hinweis.

von **Lars1991** » 04.11.2010 13:18

kann mir jemand vlt sagen, wie viele kommutatoren man in der 7 ausrechnen muss?!^^

von **alles is relativ** » 04.11.2010 13:33

mhh irgendwie denk ich da falsch oder möglich das ich des mit der phase nicht berücksichtige, aber ich krieg als zweite spalte in der matrix (001) und nicht i...wär echt dankbar wenn mir da jemand noch kurz des mit der pahse erläutern könnte, weil ich weiß eifach nicht was ich mitd er info anfangen soll????

von **alles is relativ** » 04.11.2010 13:57

mhh noch mal ne kurze frage=) leuchtet irgendwienm die 5 ein? ich weiß nicht genau weie ich des mit dem integrieren und differenzieren in den formeln unterbringen soll??

von **Lars1991** » 04.11.2010 15:04

bei dem erwartungswert bei translation irritiert mich iwie der vektor am ende... der erwartungswert is doch skalar, wieso is l dann als vektor übrig?

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