Übungsblatt 2

[Lars1991]

also iwie bin ich zu müde um noch gescheit was zu rechnen :S hab heut nur 3 stunden geschlafen mir fehlen noch die 5 und die 8 :S versteh nich, wie ich bei der 8 nur eine matrix bekommen soll... oder hab ich da was falsch verstanden?! o.O

[Κ*a(t)*h~α'-RΩ^-1+NA]

...

[Golan2781]

mit schummeln meine ich, dass die taylorreihenentwicklung nur für beliebig oft diffbare funktionen gilt. da aber durch die bedingung [B,[A,B]] = 0 bereits die zweite ableitung verschwindet, darf man doch nciht taylorentwickeln, oder nicht?

Öhm, korrigiere mich wenn ich falsch liege, aber die Fkt ist beliebig oft Ableitbar, nur sind alle Ableitungen nach der ersten 0. Nach der 2. Definition existiert der Grenzwert und ist 0. Es lässt sich Zeigen, dass jede Ableitung aus einem n-fachen Kommutator von [A,B] mit n-fach B besteht. Somit ist jede Ableitung eindeutig definiert, die Funktion ist stetig.

Allerdings hätte ich nichts gegen eine andere Lösung einzuwenden. Nach Möglichkeit eine, die den Hinweis auch benutzt.

[Hendrik]

Anbei meine Lösung der 5 und 8.
Bei der 8 sind die Eigenvektoren halt so gewählt, dass es passt. Wählt man andere Eigenvektoren, muss man einen Phasenfaktor beachten (ich glaube, dass dieser dann i oder -i ist, aber keine Garantie).

[Lars1991]

super! vielen dank hendrik

[Joey]

optimalst

danke

[koke]

Allerdings hätte ich nichts gegen eine andere Lösung einzuwenden. Nach Möglichkeit eine, die den Hinweis auch benutzt.

Die findest du ja in dem Scan von Hendrik. Ich kann sein Vorgehen bei der 5 bestätigen.

[koke]

Hendrik (oder wer mir eben antworten mag ),

wieso ist es so klar, dass du nach dem zweiten = in der Umformung von g' in der 5b) die Summanden der Klammer (A+B) hinter die e-Funktion ziehen kannst?

Liegt es daran, dass für festes B exp(x*(A+B)) als Potenzreihen-Funktion von A verstanden wird? Dann vertauscht es natürlich, aber wenn man das mal ausschreibt hat man mit den Faktoren (A+B)^k schon ein bisschen was zu tun...

[alles is relativ]

vielen dank für deine lösungen, aber mal ne frage zu der 8 deinen eigenvektoren: bei mir ist des i im x2 und ich komm grad irgendwie nicht drauf wie ich das so hin krieg wie du, weil meins is falsch. da krieg ich irgend einen salat mit den vz später...

[Hendrik]

@koke:
ich ziehe zunächst (A+B) hinter die e-Funktion, was erlaubt ist (der Kommutator von A+B mit sich selbst ist 0, was ich jetzt allerdings nur in einer Nebenrechnung auf einem Schmierblatt durchgeführt habe). Und erst nach dieser Umformung habe ich dann die Summe aufgelöst in die zwei Summanden.
@alles is relativ:
meinst du mit x2 jetzt die Komponenten der Eigenvektoren? Weil da steht bei mir auch das i jeweils in der zweiten Komponente... Eventuell musst du bei dem ersten Einheitsvektor noch mit -1 multiplizieren, damit die Vorzeichen stimmen?!