Übungsblatt 4

Übungsblatt 4

Beitragvon koke » 14.11.2010 17:00

Ist in der ersten Aufgabe eventuell ein Druckfehler und sollte es eigentlich J^2 = J_{+}^2 + J_{-}^2 + J_z^2 heißen?
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon uyc » 15.11.2010 01:25

Nein
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon PatrickM » 16.11.2010 01:15

So heute hab ich meinen sozialen Tag und scanne hier gleich mal meine Lösung zu der eigentlich nicht sehr schweren Nr. 13... Lediglich die Deutung fehlt noch teilweise.
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon Golan2781 » 16.11.2010 14:55

Ein bisschen was zur 15 - bin mir nicht 100% sicher mit |00>

Zustände und Operatoren:
Gesamtdrehimpulszustand:
\left | j ; m \right \rangle
Gekoppelter Zustand
\left | j_1 ; m_1 \right \rangle \otimes \left | j_2 ; m_2 \right \rangle \equiv \left | j_1 , j_2 ; m_1 , m_2 \right \rangle
Aufsteige-/Absteigeoperator:
J_\pm = J _\pm ^{(1)} \otimes 1_2 + 1_1  \otimes J _\pm ^{(2)} \quad \text{mit } 1_i \text{ als Einheitsoperator des Unterraums } i
J_\pm \left | j ; m \right \rangle = \hbar \sqrt{j(j+1) - m(m \pm 1)} \left | j ; m \pm 1 \right \rangle
\begin{align*}J_\pm \left | j_1 , j_2 ; m_1 , m_2 \right \rangle & = J _\pm ^{(1)} \left | j_1 ; m_1 \right \rangle \otimes \left | j_2 ; m_2 \right \rangle + \left | j_1 ; m_1 \right \rangle \otimes J _\pm ^{(2)} \left | j_2 ; m_2 \right \rangle \\ & = \hbar \left ( \sqrt{j_1(j_1+1) - m_1(m_1 \pm 1)} \left | j_1 , j_2 ; m_1 \pm 1 , m_2 \right \rangle + \sqrt{j_2(j_2+1) - m_2(m_2 \pm 1)} \left | j_1 , j_2 ; m_1 , m_2 \pm 1 \right \rangle \right ) \end{align*}

Der Zustand höchsten Gesamtdrehimpulses ist eindeutig:
\left | 2 ; 2 \right \rangle = \left | 1,1;1,1 \right \rangle
Weitere Zustände können durch Absteigeoperationen gewonnen werden:
\begin{align*}J _- \left | 2 ; 2 \right \rangle & = \hbar \sqrt{2\cdot 3 - 2 \cdot 1}  \left | 2 ; 1 \right \rangle = 2 \hbar \left | 2 ; 1 \right \rangle \\ & = \hbar \left ( \sqrt{1\cdot 2 - 1 \cdot 0} \left | 1,1 ; 0,1 \right \rangle + \sqrt{1\cdot 2 - 1 \cdot 0} \left | 1,1 ; 1,0 \right \rangle \right ) \\ & = \hbar \sqrt{2} \left ( \left | 1,1 ; 0,1 \right \rangle +   \left | 1,1 ; 1,0 \right \rangle \right ) \\ \Rightarrow \left | 2 ; 1 \right \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \left | 1,1 ; 0,1 \right \rangle +   \left | 1,1 ; 1,0 \right \rangle \right ) \end{align*}

\begin{align*}J _- \left | 2 ; 1 \right \rangle & = \hbar \sqrt{6}\left | 2 ; 0 \right \rangle \\& = \frac{1}{\sqrt{2}} J_- \left ( \left | 1,1 ; 0,1 \right \rangle + \left | 1,1 ; 1,0 \right \rangle \right ) \\ & = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \left ( \sqrt{2} \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle + \sqrt{2} \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle +  2 \sqrt{2} \left | 1,1 ; 0,0 \right \rangle \right ) \\ \Rightarrow \left | 2 ; 0 \right \rangle & = \frac{1}{\sqrt{6}} \left ( \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle + \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle +  2 \left | 1,1 ; 0,0 \right \rangle \right )\end{align*}

Aus Symmetriegründen (aka das Gleiche von der anderen Seite her machen) folgt:
\left | 2 ; -2 \right \rangle = \left | 1,1;-1,-1 \right \rangle
\left | 2 ; -1 \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \left | 1,1 ; 0,-1 \right \rangle +   \left | 1,1 ; -1,0 \right \rangle \right )

Zustände niedrigeren Gesamtdrehimpulses ergeben sich aus der Orthogonalitätsbedingung und der Condon-Shortley-Konvention:
\begin{align*}\left \langle 1; 1 | 2 ; 1 \right \rangle & = 0 \\ \Rightarrow \left | 1 ; 1 \right \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \left | 1,1 ; 1,0 \right \rangle - \left | 1,1 ; 0,1 \right \rangle \right ) \end{align*}

\begin{align*}J _- \left | 1 ; 1 \right \rangle & = \hbar \sqrt{6}\left | 1 ; 0 \right \rangle \\& = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \left ( \sqrt{2} \left | 1,1 ; 0,0 \right \rangle +  \sqrt{2} \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle -  \sqrt{2} \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle -  \sqrt{2} \left | 1,1 ; 0,0 \right \rangle \right ) \\ \Rightarrow \left | 1 ; 0 \right \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle - \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle \right )  \\ \Rightarrow \left | 1 ; -1 \right \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \left | 1,1 ; 0,-1 \right \rangle - \left | 1,1 ; -1,0 \right \rangle \right )\end{align*}

Für den niedrigsten Zustand gilt:
\begin{align*}\left \langle 0; 0 | 2 ; 0 \right \rangle & = 0 \\ \Rightarrow \left | 0 ; 0 \right \rangle & \propto  \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle + \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle - \left | 1,1 ; 0,0 \right \rangle \\ \left \langle 0; 0 | 1 ; 0 \right \rangle & = 0 \\ \Rightarrow \left | 0 ; 0 \right \rangle & \propto  \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle + \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle \\ \left \langle 0; 0 | 0 ; 0 \right \rangle & = 1 \\ \Rightarrow \left | 0 ; 0 \right \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}  \left ( \left | 1,1 ; -1,1 \right \rangle + \left | 1,1 ; 1,-1 \right \rangle - \left | 1,1 ; 0,0 \right \rangle \right ) \end{align*}

Absteigeoperator:
\begin{align*} J_-\left | 0 ; 0 \right \rangle & = \sqrt{\frac 23}  \left ( 0 \cdot \left | 1,1 ; -2,1 \right \rangle + \left | 1,1 ; -1,0 \right \rangle + \left | 1,1 ; 0,-1 \right \rangle + 0 \cdot \left | 1,1 ; 1,-2 \right \rangle -  \left | 1,1 ; -1,0 \right \rangle -  \left | 1,1 ; 0,-1 \right \rangle \right ) \\ & = 0 \end{align*}
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon Hendrik » 16.11.2010 17:38

PatrickM hat geschrieben: Lediglich die Deutung fehlt noch teilweise.

Also mein Vorschlag hier ist: der Zusammenhang zwischen jm-Basis und n-Basis ist ja letztendlich eine Basistransformation, d.h. ich wende den Projektor der einen Basis auf einen Ket der anderen an. Damit ist der Zusammenhang über die CG-Koeffizienten gegeben. Da durch den Projektor eine unendliche Reihe entsteht, kann man folglich jeden Drehimpuls als kohärenten Zustand interpretieren.
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon koke » 16.11.2010 18:55

uyc hat geschrieben:Nein


Kannst du das etwas begründen?
Zuletzt geändert von koke am 16.11.2010 19:14, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon koke » 16.11.2010 18:59

PatrickM hat geschrieben:So heute hab ich meinen sozialen Tag und scanne hier gleich mal meine Lösung zu der eigentlich nicht sehr schweren Nr. 13... Lediglich die Deutung fehlt noch teilweise.


Danke für das Einscannen! Können wir deine Lösung bitte diskutieren?

Ich denke nämlich nicht, dass das so stimmt. Du tust hier so, als seien die Operatoren L_+, L_- die, die man im Zusammenhang mit den Komponenten des Drehimpulses in QM 1 definiert hat (du löst in deiner Lösung ja insbesondere nach L_x, L_y genau so auf). In der Aufgabe heißt es aber nur, dass wir mit diesen Indizes eben unsere Operatoren bezeichnen. Ein weiterer Hinweis für meine Theorie, dass da ein Schreibfehler vorliegt ist, dass man üblicherweise drei Operatoren A, B, C die eine Drehimpulsalgebra erfüllen und deren Quadratsumme (hier also J^2 := J_+^2 + J_{-}^2 + J_z^2 ) betrachtet. Die mittlere Aussage in der zweiten TeX-Zeile der Aufgabe ist kein Bestandteil von "eine Drehimpulsalgebra erfüllen"! Das ist eine Folgerung und bezieht sich meiner Meinung nach auf den Vektor, der wie oben beschrieben gebildet wird.

Es kann gut sein, dass ich mir irre und ich bitte daher um eure Kommentare :)
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon Tokamak » 16.11.2010 19:37

Hallo,
jemand ne Idee zur Aufgabe 14?

Ich mein die a) geht ja noch ganz einfach indem man ne beliebige Matrix mit a,b,c und d aufstellt und dann über die Bedingungen der Spurlosigkeit sowie der Hermezität (heißt das so??) kommt man ja schnell drauf dass man es so schreiben kann.

Bei der b) hab ich aber nicht so den Plan:
Darf ich das P von oben da einfach einsetzten und irgednwie sagen dass meine unitären Matrizen die Pauli-Matrizden nicht ändern und nur auf das p wirken? Oder wie muss ich da vorgehen?
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon Golan2781 » 16.11.2010 19:41

Bin mir eigentlich relativ sicher, dass sie sehr wohl auf die Paulimatrizen wirken, das Ergebnis aber wiederum eine spurlose, hermitesche Matrix ist und damit eben wieder als neue Kombination der Pauli-Matrizen geschrieben werden kann, Wurde mir aber ehrlich gesagt zwischendrin zu bunt das per Brute-Force durchzurechnen.
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Re: Übungsblatt 4

Beitragvon koke » 16.11.2010 19:43

14b: Innerhalb der Spur man kann Produktfaktoren beliebig vertauschen, d.h. Spur(ABC) = Spur(BAC) etc. Damit bekommt man, dass auch P' spurfrei ist. Dass P' auch hermitesch ist kann man auch sofort nachrechnen und kann somit die a) anwenden und folgern, dass es wieder einen Vektor p' geben muss der mit den Paulimatrizen multipliziert P' ergibt.

Die Determinante ist auch einfach: det(P') = det(U^{-1}PU) = det(U^{-1})det(P)det(U) = det(P) = -|\vec p| .
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