Also wenn ich mich recht erinnere, wird im Sakurai folgendermaßen vorgegangen: Es wird nach einer Darstellung der Drehgruppe (also SO(3)) im Zustandsraum/Hilbertraum gesucht. Dazu postuliert man einen Operator

, der die Drehungen der Zustände erzeugt (über
)
). Fordert man, dass diese Drehungen im Hilbertraum dieselben Kommutatorrelationen wie die Drehmatrizen (also die Elemente der SO(3)) erfüllen, so erhält man eine Bedingung an den postulierten Operator. Dies ist gerade die Drehimpulskommutatorrelation.
Der Generator der Drehung ist also gerade der Drehimpulsoperator. Seine Eigenschaften (Kommutatoren) folgen direkt aus der nicht-kommutativen Struktur der Drehgruppe.
In der Vorlesung wurde immer von der SU(2) statt SO(3) ausgegangen (zumindest bei den Wigner-Funktionen), was ich ein bisschen seltsam finde, aber eigentlich keinen Unterschied macht, da beide mehr oder weniger isomorph sind (wurde mal auf einem Übungsblatt bewiesen).