Generatoren/Erzeuger

Generatoren/Erzeuger

Beitragvon Cashdogg » 16.01.2011 16:44

Ich hab gerade mal begonnen intensiver Theo zu lernen und bin da zu Beginn auf ein kleines Verständnisproblem gestoßen :?. Und zwar blicke ich beim Thema Generator der Drehung nicht so richtig durch. Also auf was bezieht sich dieser Generator überhaupt? Zu Beginn haben wir den Generator anhand einer Drehmatrix abgeleitet (er resultiert bzw. bezieht sich also direkt auf die Art der Drehung). Ein bisschen später haben wir dann herausgefunden dass dieser Generator der Drehimpulsalgebra gehorcht (und anschließend bewiesen dass sich auch der Drehimpuls so verhält, der Drehimpuls also der Drehimulsalgebra gehorcht :lol:). Jetzt bezieht sich der Generator also auf den Drehimpuls, einer Systemeigenschaft. Ist für mich irgendwie ein Widerspruch :?. Also reultiert der Generator nun aus der Transformation an sich, oder aus dem Zustand in dem sich das System befindet?

Wäre sehr dankbar für eine Lösung für dieses schwerwiegende Problem ;).
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Re: Generatoren/Erzeuger

Beitragvon Felix » 16.01.2011 21:22

Also wenn ich mich recht erinnere, wird im Sakurai folgendermaßen vorgegangen: Es wird nach einer Darstellung der Drehgruppe (also SO(3)) im Zustandsraum/Hilbertraum gesucht. Dazu postuliert man einen Operator \vec J , der die Drehungen der Zustände erzeugt (über $\exp(-i/\hbar  \cdot \vec \alpha \vec J) ). Fordert man, dass diese Drehungen im Hilbertraum dieselben Kommutatorrelationen wie die Drehmatrizen (also die Elemente der SO(3)) erfüllen, so erhält man eine Bedingung an den postulierten Operator. Dies ist gerade die Drehimpulskommutatorrelation.

Der Generator der Drehung ist also gerade der Drehimpulsoperator. Seine Eigenschaften (Kommutatoren) folgen direkt aus der nicht-kommutativen Struktur der Drehgruppe.

In der Vorlesung wurde immer von der SU(2) statt SO(3) ausgegangen (zumindest bei den Wigner-Funktionen), was ich ein bisschen seltsam finde, aber eigentlich keinen Unterschied macht, da beide mehr oder weniger isomorph sind (wurde mal auf einem Übungsblatt bewiesen).
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