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Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 23.01.2009 15:24
von MarkusL
Dachte wär vll ma net schlecht nen Thread aufzumachen, nachdem wir ja gesagt bekommen haben, dass wir ein beschriebenes DinA4 blatt mit in die prüfung nehmen dürfen. Somit kann man vll umgehn das eine person aus versehn ne wichtige formel vergisst und damit in der klausur dumm dasteht. ich hab mich leider noch net mit latex da außeinandergesetzt aber werde es denke ich die tage tun und dann auch anfangen welche in gescheiter form zu posten ;) damit hier aber net alles völlig leer steht mach ich jetzt schonma einen enormen kraftakt :D :D und schreibe

F = m * a

Harmonischer Oszi schwach gedämpft:

x(t) = e^(- βt) * [a1 * e^(iwt) + a2 * e^(-iwt)]

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 23.01.2009 18:21
von uyc
Wenn ihr Mängel an der Formelsammlung findet oder noch welche Formeln hinzufügen wollt, sagt mir bitte bescheid oder kopiert bitte diesen kompletten Post mit sämtlichen Inhalt in euren neuen Post und fügt dort eure Verbesserungen ein, damit wir am Ende einen Post mit ALLEN Formeln haben und nicht die komplette Formelsammlung aus allen möglichen Posts zusammenflicken müssen ;-)

Mathematische Einführung

1. Vektoren

Grundlegende Rechenregeln:

Addition:
\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{array}\right)
Skalarprodukt:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}
Vektorprodukt:
\vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{array}\right)
Spatprodukt: \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})
Entwicklungssatz: \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})

Ableitungsregeln:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{a}(t)+\vec{b}(t))=\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{b}}{\mathrm{d}t}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f(t)\cdot\vec{b}(t))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sum_{i}f(t)a_{i}(t) \hat{e}_{i})=\dot{f}(t)\cdot\vec{a}(t)+f(t)\cdot\dot{\vec{a}}(t)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{a}(t)\cdot\vec{b}(t))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sum_{i}a_{i}(t)b_{i}(t))=\sum_{i}(\dot{a}_{i}b_{i}+a_{i}\dot{b}_{i})=\dot{\vec{a}}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\dot{\vec{b}}

2. Raumkurven

Parametrisierung einer Raumkurve:
\vec{r}(t)=\sum_{j=1}^{3}x_{j}(t)\hat{e}_{j}=\left(\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{array}\right)
Über den Einheitsvektor einer Raumkurve: \hat{r}^{2}=1
\hat{r}(t)=\frac{\vec{r}(t)}{|\vec{r}(t)|}
\frac{\mathrm{d}\hat{r}(t)}{\mathrm{d}t}\perp\hat{r}(t)
Bogenlänge einer Raumkurve:
s(t)=\int_{t_{a}}^{t}|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t^{'}}|\mathrm{d}t'
Tangentialvektor \hat{t} (Einheitsvektor in Tangentialrichtung), Normaleneinheitsvektor \hat{n} :
\hat{t}(s)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}s} ; \hat{n}(s)=\frac{1}{\kappa}\frac{\mathrm{d}\hat{t}}{\mathrm{d}s}
Krümmung \kappa , Krümmungsradius \rho
\kappa=|\frac{\mathrm{d}\hat{t}}{\mathrm{d}s}| ; \rho=\frac{1}{\kappa}

3. Felder

Partielle Ableitungen:
\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}=\partial x_{i}\phi=\partial_{i}\phi
Rechenregeln:
\partial_{i}(\phi_{1}+\phi_{2})=\partial_{i}\phi_{1}+\partial_{i}\phi_{2}
\partial_{i}(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\partial_{i}\vec{a})\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot(\partial_{i}\vec{b})
\partial_{i}(\vec{a}\times\vec{b})=(\partial_{i}\vec{a})\times\vec{b}+\vec{a}\times(\partial_{i}\vec{b})
Kettenregel:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(\vec{x}(t))=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}
Höhere Ableitungen: (Die Reihenfolge der Ableitungen ist von rechts nach links, bei stetig differenzierbaren Funktionen ist die Reihenfolge der Ableitungen unwichtig)
\frac{\partial}{\partial x_{j}}(\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}})=\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x_{j}\partial x_{i}}

Differentiation von Feldern

Der Gradient (von skalaren Feldern):
grad\phi\equiv(\frac{\partial\phi}{\partial x_{1}},\frac{\partial\phi}{\partial x_{2}},\frac{\partial\phi}{\partial x_{3}})\equiv\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}\hat{e}_{i}
Der Nabla-Operator \nabla :
\nabla=\hat{e}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{1}}+\hat{e}_{2}\frac{\partial}{\partial x_{2}}+\hat{e}_{3}\frac{\partial}{\partial x_{3}}\equiv\sum_{i=1}^{3}\hat{e}_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}
Damit gilt:
grad\phi=\nabla\phi

Die Divergenz und die Rotation (von Vektorfeldern):
div\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A}=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_{i}}A_{i} (Quellenfeld)
rot\vec{A}=\nabla\times\vec{A}=\sum_{i,j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}(\frac{\partial}{\partial x_{i}}A_{j})\hat{e}_{k} (Wirbelfeld)
rot\vec{A}=(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}})\hat{e}_{1}+(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}})\hat{e}_{2}+(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}})\hat{e}_{3}

Weitere Eigenschaften: Quellenfreie Felder \vec{A} haben div\vec{A}=0 , insbesondere Wirbelfelder sind stets quellenfrei. div(rot\vec{A})=0 . Gradientenfelder sind wirbelfrei: rot(grad\phi(\vec{r}))=0

Koordinatentransformationen fand ich jetzt nicht so wichtig... (zumindest gibts da nich viel was für eine Formelsammlung wichtig ist.

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 24.01.2009 18:10
von uyc
Mechanik des freien Massepunkts

1. Kinematik

Geschwindigkeit:
\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)=\frac{\mathrm{d}\dot{\vec{r}}}{\mathrm{d}t}
Beschleunigung:
\vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{\vec{r}}(t)=\frac{\mathrm{d^{2}\vec{r}}}{\mathrm{d}t^{2}}
Es folgen die Beziehungen:
\vec{v}(t)=\vec{v}_{o}+\int_{t_{0}}^{t}\vec{a}(t')\mathrm{d}t'
\vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}(t-t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}\mathrm{d}t'\int_{t_{0}}^{t'}\vec{a}(t'')\mathrm{d}t''

2. Dynamik

(Die 4 Newton'schen Axiome, aber die sollte man kennen)
Galilei-Transformation: \vec{r}=\vec{v}_{o}t+\vec{r}',t=t' (für Inertialsysteme)
Scheinkräfte in Nichtinertialsystemen:
Corioliskraft: \vec{F}_{C}=-2m\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}'=2m\vec{v}\times\vec{\omega}}
Zentrifugalkraft: \vec{F}_{ZF}=-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}')=m\omega^{2}\vec{r}'

3. Dynamische Probleme

(Lösung von linearen Differentialgleichungen)
Stoke'sche Reibung: \vec{F}_{R}=-\alpha\vec{v}
Der eindimensionale harmonische Oszillator: m\ddot{x}=-kx
Lösung: x(t)=x_{o}\mathrm{cos}(\omega_{0}t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\mathrm{sin}(\omega_{0}t) bzw.
x(t)=\frac{A}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{0}t+\phi)}+\frac{A}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega_{0}t+\phi)}=A\cdot\mathrm{cos}(\omega_{0}t+\phi)
A = Amplitude; \phi = Phasenverschiebung
Freier gedämpfter harmonischer Oszillator: \ddot{mx}=-\alpha\dot{x}-kx
\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 \omega_{0}^{2}\equiv\frac{k}{m};\beta\equiv\frac{\alpha}{2m}
Schwache Dämpfung (0<\beta<\omega_{0}) : x(t)=\mathrm{e}^{-\beta t}(x_{0}\mathrm{cos}(\omega t)+\frac{v_{0}+\beta x_{0}}{\omega}\mathrm{sin}(\omega t)) ; \omega\equiv\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}
Kritische Dämpfung (\beta=\omega_{0};\omega=0) : x(t)=\mathrm{e}^{-\beta t}(x_{0}+v_{0}+\beta x_{0}t)
Starke Dämpfung (\beta>\omega_{0}) : x(t)=\mathrm{e}^{-\beta t}(a_{1}\mathrm{e^{\gamma t}+a_{2}e^{-\gamma t})} , \gamma\equiv\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}} Nulldurchgang, wenn: \frac{a_{1}}{a_{2}}<0\cap|\frac{a_{1}}{a_{2}}|<1
Harmonischer Oszillator mit äußererer harmonischer Kraft: F(t)=f\mathrm{\cdot cos}(\omega t) , \ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{f}{m}\mathrm{cos}(\omega t)
x(t)=\mathrm{e^{-\beta t}(x_{0}\mathrm{cos}(\omega_{0}t)+\frac{v_{0}+\beta x_{0}}{\omega_{0}}\mathrm{sin}(\omega_{0}t)+|A|\mathrm{cos}(\omega t+\phi}))

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 01.02.2009 21:50
von leonie
was soll das denn bedeuten, nulldurchgang wenn betrag von a/b kleiner als null ist?? du spinnst doch :))

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 01.02.2009 23:42
von stefanL
der Betrag von irgendwas ist nie kleiner 0 xD

Ich finde die "Formelsammlung von Jingfang nicht gut. Viel zu viel drin. Und vorallem unnötiges Zeug. z.B. Vektoraddition, das sollte selbst der schlechteste Student ohne Formelsammlung hinbekommen.
Wichtig sind doch die Dinge die man sich schlecht merken kann bzw. die man leicht verwechselt z.B. Kreuzprodukt, Rotation , p-q Formel, quotientenregel

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 02.02.2009 09:47
von mabl
Nana, es sit doch gut dass viel da ist, da kannst du dann aussuchen was du brauchst - das ist eben für jeden anders. :!:

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 02.02.2009 15:52
von Atomwürmchen
Es wird ja auch keiner gezwungen, diese Formelsammlung in irgendeiner Art und Weise zu verwenden ...
Viel wichtiger finde ich es, die Arbeit, die Jingfan sich damit gemacht hat zu würdigen, anstelle hier rumzumaulen.

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 03.02.2009 17:11
von mabl
Was ich auch sehr praktisch finde ist rot F nicht mit den Indeces aufzuschreiben, sondern mit x,y,z - ist etwas durchsichtiger für Langsamdenker wie mich :mrgreen:
Ansonsten fehlen noch Wegintegrale
W_{12}=\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{F}\left(\vec{r}\right)\,\mathrm{d}\vec{r}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}\left(\vec{r}(t)\right)\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t

Außerdem scheint es in den Klausuren ziemlich Mode zu sein, zu fragen ob es sich um eine Drehmatrix handelt, ich denke aber dass uns das erspart bleibt, da wir nur eine Klausur schreiben.

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 04.02.2009 18:26
von uyc
Danke für die Verbesserung! Ich hab wohl in der Vorlesung falsch von der Tafel abgeschrieben (bzgl. des Nulldurchgangs beim stark gedämpften Oszillator)

Also ich persönlich werde wohl auch nicht alles was ich da gepostet habe in meine persönliche Formelsammlung schreiben ;-). Ich wollte einfach die Formeln, die bisher in der Vorlesung behandelt wurden, aufschreiben (auch wenn einige einfach sind) und der Leser soll sich beim Durchlesen das, was er persönlich für sich als wichtig erachtet, für seinen Zettel notieren, schließlich hat jeder andere Prioritäten. Der größte gemeinsame Nenner sind alle Formeln^^
Vielleicht entdeckt er ja beim Durchlesen auch welche Formeln die er in seinem Aufschrieb vergessen hat und kann sie hiermit ergänzen...

Weitere wichtige Formeln könnten vielleicht die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen und für Hyperbelfunktionen sowie die Formel der Taylorreihe sein!

Re: Wichtige Formeln für Klausur

BeitragVerfasst: 04.02.2009 21:23
von Paul
HuHu,
Hmm erstmal
@Jingfan: Sehr cooler name und danke schon mal für die schick getexten formeln :)
@mabl: Schön wärs wenn so ne "beweisen sie dass D eine drehmatrix ist" drankommen würde :D. Aber bis jetz gabs in den klausuren immer aufgaben bei denen es ums billige punkte fischen ging hatte ich so das gefühl.

noch was konstruktives. ich hab irgendwie im gefühl das wir diesen entwicklungssatz (glaub zweites übungsblatt mussten wir den herleiten) evtl. gebrauchen könnten^^ aber kann leider nich texen das wäre wirklich unschön