Klausur WS 07/08 - Lösungen

Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon mabl » 10.02.2009 13:48

neutron hat geschrieben:Ein Massenpunkt der Masse m und Energie E bewegt sich im Potential V(x)=V_0(e^{\frac{x}{x_0}}+e^{\frac{-x}{x_0}}-2) mit V_0, x_0, E > 0

Wie kommst du denn auf das Potential bei mir ist das V_{0}\ln\left(1+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{x_{0}^{2}}\right) ? Oder bin ich doof? :mrgreen:

Ansonsten löst sich die a) bei mir dann so
F\left(x\right)=-\frac{\mathrm{d} V\left(x\right)}{\mathrm{d} x}&=&-V_{0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln\left(1+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{x_{0}^{2}}\right)\\&=&-\frac{1}{1+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{x_{0}^{2}}}\cdot\frac{1}{x_{0}^{2}}\cdot2\left(x-x_{0}\right)\\&=&-\frac{x_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-2xx_{0}+2x_{0}^{2}}\cdot\frac{1}{x_{0}^{2}}\cdot2\left(x-x_{0}\right)\\&=&\frac{2\left(x_{0}-x\right)}{x_{0}^{2}-2xx_{0}+2x_{0}^{2}}

misterx hat geschrieben:-1/r wird zu r vektor/r^3
1/r^2 wird zu -2*r vektor/r^4

Man könnte jetzt noch sagen warum das so ist :D
\vec{F}\left(r\right)=-\mbox{grad }V\left(r\right)&=&-\frac{\mbox{d}V\left(r\right)}{\mbox{d}r}\cdot\hat{r}=-\frac{\mbox{d}V\left(r\right)}{\mbox{d}r}\cdot\frac{\vec{r}}{r}\\&&\\-\mbox{grad }\frac{1}{r^{2}}&=&\frac{2}{r^{3}}\hat{r}=\frac{2\vec{r}}{r^{4}}

misterx hat geschrieben:zur a) nun ja F= ma und die ableitung des potentials sollte nicht schwer sein hast ja nur e fkt

Wozu hast du da m und a drin? Das geht doch direkt mit dem Gradienden
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon misterx » 10.02.2009 13:58

@mable du hast nen fehler am ende: grad 1/r^2)ist nicht 2/r^4 felhlt der vektor
so : ausßerdem hast du die andere klausur berechnet, nicht die die neutron hat (a/B)
naja und für die bewegungslgeichung bruacht man dp/dt= summe F=-gradV
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon neutron » 10.02.2009 14:02

Dankeschön!

@MABL: Das Potential ist so gegeben. Ich habe die Aufgabe nur komplett abgetippt.
Es ist Aufgabe 2 der weißen Version (es gab zwei Versionen, weiß und rosa) der Nachklausur von 07/08. Die Klausur, die hier online ist, ist die rosa Version!!!
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon mabl » 10.02.2009 14:05

neutron hat geschrieben:@MABL: Das Potential ist so gegeben. Ich habe die Aufgabe nur komplett abgetippt.
Es ist Aufgabe 2 der weißen Version (es gab zwei Versionen, weiß und rosa) der Nachklausur von 07/08. Die Klausur, die hier online ist, ist die rosa Version!!!

Achso - vllt fühlt sich ja jemand berufen die weiße Klausur auch online zu stellen - war jetzt etwas leicht vewirrend :D
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon neutron » 10.02.2009 14:16

So, hier ist die weiße Version der Nachklausur!
Da diese nicht im tut besprochen wurde, sondern es nur eine Einsicht gab, wäre ich um Lösungen dankbar.
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon neutron » 10.02.2009 15:34

Ich hab von der eben hochgeladenen Klausur (weiße Nachkl.) die Aufgabe 3 gemacht.
Am Schluss bleibt bei mir noch einTerm stehen, den ich nicht vereinfacht bekomme:

\frac{d\vec{C}}{dt}=\frac{1}{k}(\frac{d\vec{p}}{dt}\times\vec{L}+\vec{p}\times\frac{d\vec{L}}{dt})-m\frac{r\dot{\vec{r}}-\vec{r}\dot{r}}{r^2} \\ \\ \frac{d\vec{L}}{dt}=0 \\ \\ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}=-grad U(r)=-\frac{k\vec{r}}{r^3}+2\frac{g\vec{r}}{r^4} \\ \\ \frac{d\vec{p}}{dt}\times\vec{L}=(-\frac{k\vec{r}}{r^3}+ \frac{g\vec{r}}{r^4})\times (\vec{r}\times\vec{p})=...=\frac{2gm\vec{r}\dot{r}}{r^3}-\frac{2mg\dot{\vec{r}}}{r^2}-\frac{km\vec{r}\dot{r}}{r} \\ \\ \frac{d\vec{C}}{dt}=\frac{2gm\vec{r}\dot{r}}{kr^3}-\frac{2gm\dot{\vec{r}}}{kr^2}

Kann ich das vereinfachen oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht. Kann ja sein, dass es richtig ist, dann wäre \vec{C} keine Erhaltungsgröße.
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon misterx » 10.02.2009 15:46

keine E -größe
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon tms » 10.02.2009 20:55

mabl hat geschrieben:\vec{F}\left(r\right)=-\mbox{grad }V\left(r\right)&=&-\frac{\mbox{d}V\left(r\right)}{\mbox{d}r}\cdot\hat{r}=-\frac{\mbox{d}V\left(r\right)}{\mbox{d}r}\cdot\frac{\vec{r}}{r}\\&&\\-\mbox{grad }\frac{1}{r^{2}}&=&\frac{2}{r^{3}}\hat{r}=\frac{2\vec{r}}{r^{4}}



Könntest du mal genau erklären, was du da gemacht hast, mir ist das nicht wirklich klar.
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon mabl » 10.02.2009 21:15

tms hat geschrieben:
mabl hat geschrieben:\vec{F}\left(r\right)=-\mbox{grad }V\left(r\right)&=&-\frac{\mbox{d}V\left(r\right)}{\mbox{d}r}\cdot\hat{r}=-\frac{\mbox{d}V\left(r\right)}{\mbox{d}r}\cdot\frac{\vec{r}}{r}\\&&\\-\mbox{grad }\frac{1}{r^{2}}&=&\frac{2}{r^{3}}\hat{r}=\frac{2\vec{r}}{r^{4}}



Könntest du mal genau erklären, was du da gemacht hast, mir ist das nicht wirklich klar.


Naja wenn dir das so nicht klar ist, dann zeige ich dir einfach mal ein Beispiel und hoffe das man das dann abstrahieren kann und zwar:
Machen wir ein Beispiel V\left(r\right)=\frac{1}{r} , dann formen wir die das Potential also erst mal um zu V\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , dann ist die Kraft ja
\vec{F}&=&-\mbox{grad }V\\&=&\left(\begin{array}{c}\frac{\partial V}{\partial x}\\\frac{\partial V}{\partial y}\end{array}\right)=\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot\hat{e}_{x}+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot\hat{e}_{y}\\&=&\frac{1}{r^{3}}\vec{r}

Vllt raffe ich mich morgen mal noch auf, und Beweise das vollständig, wie ich es am Anfang geschrieben habe ;)
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Re: Klausur WS 07/08 - Lösungen

Beitragvon tms » 11.02.2009 09:03

Das ist mir klar, ich frage mich nur, warum du nicht einfach
m*a=F(x)
schreibst, sondern andere Gradienten bildest.
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